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1、第20卷第6期大学物理Vol.20No.62001年6月COLLEGEPHYSICSJune.2001教学讨论弹簧振子在定常干摩擦阻尼作用下的振动12卓士创,董慎行(1.徐州师范大学技术教育学院,江苏徐州221011;2.苏州大学物理系,江苏苏州215006)摘要:首先给出了弹簧振子在定常干摩擦阻尼作用下的振动微分方程,并通过分段求解,归纳出其在各个阶段的解的一般形式,然后分析了振动的基本规律,作出了振动的图象.关键词:干摩擦阻尼;振动中心;动平衡位置;振幅衰减量;静平衡区间中图分类号:O321文献标识码:A文章编号:1000-0712(2001)06-0017-05运动
2、方向相反.1引言以弹簧自然伸长时小球的位置O作为原振动系统遇到的阻尼有多种形式.例如,振点,建立一维坐标系.同时,设振体从右端最大体在介质中振动时,由介质的粘性而引起的阻位移x=x0处开始振动,初速度为0.则振体振尼,称为粘滞阻尼.又如,由接触面间的摩擦而动的微分方程为:引起的阻尼,称为干摩擦阻尼,又称库仑阻尼.m¨x=-kx+f(1)此外还有由振动系统材料的变形而引起的内阻或m¨x=-kx-f(1′)尼等.各种文献中关于粘滞阻尼的振动理论较振体自右向左振动,服从方程(1);振体自左向多,而关于干摩擦阻尼的振动理论却较少.事实右振动,服从方程(1′).上,在某些情况下,干
3、摩擦阻尼起主导作用.例2kf令ω=,=,则方程(1)和(1′)可以mm如,图1中,穿在水平细杆上的小球m与轻质分别写成标准形式:弹簧k组成的振动系统,当振体速度不大时,空2¨x+ωx=(2)气阻力可以忽略,而杆与小球之间的干摩擦起2和¨x+ωx=-(2′)主导作用.下面对其振动情况作些探讨.它们是二阶常系数线性非齐次微分方程.其对2应的齐次方程¨x+ωx=0的通解为22x1=C1cosωt+C2sinωt=C1+C2·C1C2cosωt+sinωt=2222C1+C2C1+C2Acos(ωt-α)图1由于方程(2)的自由项为常数,故设它2振动的微分方程及其一般解的一个特解
4、为x2=C(为常数).代入方程(2)有20+ω·C=,解之得为了突出主要问题,此处只考虑干摩擦阻fmf力f的影响.f的大小是不变的,其方向始终与C=ω2=km=k=δ收稿日期:2000-06-08;修回日期:2001-01-02作者简介:卓士创(1966—),男,江苏睢宁人,徐州师范大学技术教育学院副教授,硕士.18大学物理第20卷(δ具有特定的物理意义,后文专门讨论).故方其终态值为ωt=4π时,x=x0-8δ,v=0.程(2)的通解为第i阶段(第i个半周期)的振动方程解为x=x1+x2=Acos(ωt-α)+δ(3)x=[x0-(2i-1)δ]cosωt+(-1)i+
5、1δ(4)同理得方程(2′)的通解为相应地有:v=-[x0-(2i-1)δ]ωsinωt(4′)x=Acos(ωt-α)-δ(3′)a=-[x-(2i-1)δ]ω2cosωt(4″)0其中A和α为两个积分常数,由初始条件决i其终态值为ωt=iπ时,x=(-1)(x0-2iδ),v定.但需要强调的是,由于振体往复运动,方程=0.(1)和(1′)以及式(3)和(3′)都是交替起作用的,式(4)可视为振动微分方程在各个阶段的每一阶段(半个周期)都以前一阶段的终态为初解的一般形式,式中i为自然数,其值由i=int始条件,因此,式(3)和(3′)中的A和α在不同t2t+1=int+
6、1决定(注:int(x)是BA-阶段的取值是不同的,下面分别加以确定.T2T第1阶段(第1个半周期),振子自右端最大SIC语言中的取整函数,它返回一个不大于自位移处运动到左端最大位移处.将初始条件ωt=0变量x的整数).时,x=x0及v=0分别代入式(3),可以解得A1=3振动的基本规律与振动图象x0-δ,α1=0.故第1阶段的振动方程解为x=(x0-δ)cosωt+δ3.1振动的基本规律相应地有:v=-(x0-δ)ωsinωt3.1.1动平衡位置在振动中心的两侧往复跃a=-(x-δ)ω2cosωt迁0动平衡位置即弹簧振子的振动小球处于运其终态值为ωt=π时,x=-(x0
7、-δ)+δ=-动状态时的受力平衡点.在这一点,小球所受回(x0-2δ),v=0,此即第2阶段的初始条件.复力为零,速度最大.由于摩擦力的存在,振体第2阶段(第2个半周期),振子自左端最到达原点O时,虽然所受的弹力为零,但合力大位移处运动到右端最大位移处.将初始条件并不为零,因此,原点O不是振体的动平衡位ωt=π时,x=-(x0-2δ)及v=0,分别代入式置.但由于振体始终在原点O的两侧往复振(3′),可以解得A2=-(x0-3δ),α2=π.整理动,故将O点称为振动中心.振体真正的动平得第2阶段的振动方程解为衡位置有两个,分别
