6-2点估计的评价标准

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1、第六章第二节点估计的评价标准对于同一个未知参数,用不同的方法（或同一方法）得到的估计量可能不同,于是提出问题：应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)相合性(一致性)(3)有效性(2)无偏性评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量.定义:设是总体参数则称是总体参数的相合(或一致)估计.的估计.若对于任意的,当n时,一、相合性依概率收敛于,即实际中,估计量应随着样本容量n的增大而愈稳定于其真值.注：相合性是对估计的最基本要求，由定义，证明估计具有相合性可用依概率收敛的性质和各种大数定律。判断一致性的三个常用结论由

2、辛钦大数定律可证用切贝雪夫不等式证明是的相合估计量.2.设是的一个估计,且则样本k阶矩是总体k阶矩的相合估计.即矩估计具有相合性3.若分别是的相合估计，是的连续函数，则是的相合估计.定理1定理2例1.设X~U(0,θ),x1,x2,…,xn是X的一个样本,证明：θ的最大似然估计是相合估计.（P294）例2.为参数,则是的相合估计.注:(1)为EX的相合估计;(2)s＊2是Var(X)的相合估计；（3）s2也是Var(X)的相合估计；（4）s(或s*)是的相合估计；（5）是的相合估计.x例3.设一个试验有三种可能结果,其发生的概率分别为现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1

3、，n2，n3，则用频率替换法得到的θ的估计为相合估计.(P295)二、无偏性(UnbiasssedEstimate)无偏性的意义是：用一个估计量去估计未知参数,有时候可能偏高,有时候可能偏低,但是平均来说它等于.则称为的无偏估计.，若对任意，有定义：设是未知参数的估计，注：无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,其实际意义是指无系统性偏差。例4.对任一总体X（均值为,方差为2),样本均值为总体均值的无偏估计.更一般,当总体的k阶矩存在时,样本的k阶原点矩ak是总体k阶原点矩k的无偏估计.而对中心矩此结果则不成立。证:因而由于注1:是和2的无偏估计(而S*2有偏).因此S

4、2称为无偏方差.样本二阶原点矩是总体二阶原点矩的无偏估计.总体为N(μ,σ2),证明:样本标准差S不是总体标准差的无偏估计,而是渐近无偏估计.(P296)例5.注2.由于,称的渐近无偏估计注3.同一参数可能有多个无偏估计（U.E不唯一）.例6.设是总体X的一个样本,X~b(n,p)n>1,求p2的无偏估计量.分析:由于样本原点矩是总体原点矩的无偏估计以及数学期望的线性性质,一般只要将未知参数表示成总体原点矩的线性函数,然后用样本原点矩作为总体原点矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量肯定为无偏估计量.解：因此,p2的无偏估计量为故例7.设是总体X的一个样本,X~b(1,p).（1）求p2

5、的无偏估计量；（2）证明1／p的无偏估计不存在.例8.设总体X的密度函数为为参数，为X的一个样本，证明与都是θ的无偏估计.证：故故是的无偏估计量.即故nx(1)是的无偏估计量.的密度为都是总体参数的无偏估计量，则称比更有效.定义:设三、有效性的大小来决定二者谁更优.一个参数往往有不止一个无偏估计,若和都是参数θ的无偏估计量，可以比较若对任意，有且至少有一个使上述不等号严格成立，由例8可知,与都是的无偏估计量.所以,比更有效.问哪个估计量更有效？θ>0为常数例9.设总体X的密度函数为解：注：是的无偏、有效、一致估计量.例10.设总体X，且E(X)=,Var(X)=2

6、为总体X的一个样本证明是的无偏估计量,称之为的线性无偏估计类.(2)证明比更有效.证:(1)(1)设常数(2)利用柯西不等式,其中等号成立的充要条件是而例如X~N(,2),(x1,x2)是一个样本.都是的无偏估计量由例10(2)知最有效.结论算术均值比加权均值更有效.例11.设X~U(0,θ),x1,x2,…,xn是X的一个样本,则由前可知：θ的最大似然估计是x(n).由于所以x(n)不是θ的无偏估计,而是渐近无偏估计.但修正后可得θ的一个无偏估计:另由矩法估计可知也是θ的无偏估计,易证:当n>1时,前者比后者更有效.(P298)设x1,x2,,xn为抽自均值为的总体,考虑

7、的如下两个估计:显然两个估计都是的无偏估计.再计算其方差:例12.表示去掉第i个样品后,对其余n-1个样品所求的样本均值.这表明,用样本均值去估计总体均值时,使用全体样品总比不使用全体样品要好.四、均方误差准则有偏估计不一定不是好的估计.当不是θ的无偏估计时,样本量一定时,点估计优良的标准是估计与真值θ距离的函数即的大小.称之为均方误差.这是因为均方误差能够分解成两部分:第一部分是估计量的方差.第二部分是估计量的偏差的