高等数学 4-4几种特殊类型函数积分

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1、章节题目第四节、几种特殊类型函数的积分内容提要有理函数的积分三角函数有理式的积分简单无理函数的积分重点分析有理函数的积分难点分析如何将有理函数化为部分分式之和习题布置：单数备注8教学内容一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.其中、都是非负整数；及都是实数，并且，.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点：将有理函数化为部分分式之和.有理函数化为部分分式之和的一般规律：分母中若有因式，则分解后为其中都是常数.特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解

2、后为其中都是常数.特殊地：分解后为真分式化为部分分式之和的待定系数法例1解：8例2解：代入特殊值来确定系数，取，取取并将A,B值代入(1)例3整理得例4求积分解：8例5求积分解：例6求积分解：令说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令记则8这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论：有理函数的原函数都是初等函数二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为令，，（万能置换公式）例7求积分解：由万能置换公式，8（）例8求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,令解（三）可以不用万能置换公

3、式.结论：比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例9求积分8三、简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号.例10求积分解：令，例11求积分解：令8说明：无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例12求积分先对分母进行有理化原式四、小结有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）简单无理式的积分.思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.8