几种特殊类型函数的积分

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1、第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）第四节几种特殊类型函数的积分要求：会求有理分式为简单分式之和，并且会计算简单有理函数，简单三角有理函数的积分。重点：有理函数的积分方法。难点：较复杂三角有理函数的积分。作业：习题4－4（）下面讨论几种比较简单的特殊类型函数的积分．一、有理函数积分有理函数设两个多项式，其中为正整数，系数为实数，．有理函数按分子、分母的最高次数的不同可分三种：（1）当时，是一个多项式，称有理整函数；（2）当时，是有理真分式（总假设不可约）；（3）当时，是有理假分式．有理整函数积分会求，对有理假分式可

2、用多项式除法化为多项式与真分式之和．因此要解决有理函数的积分问题，只要解决有理真分式积分就可以了．首先看一个事实，有理真分式的和仍为有理真分式，有理真分式可以化为简单分式之和．如，所以解决有理真分式积分问题，首先要将真分式分解成简单分式之和形式．从上例看出简单分式的分母都是的因子，因此真分式的分解问题从分母入手．1．真分式的分解设多项式在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积为（其中），那么真分式可以分解成如下部分分式（简单分式）之和：10第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）．其中都是常数．注意（1）分母中，如

3、果有因子，那么分解后有下列个部分分式之和，特别当时，分解后只有一项．如；（2）分母中如果有因子（），那么分解后有下列个部分之式之和，如；（3）这种分解式是唯一的，在实际应用中，注意分解式的形式和规律；（4）部分分式有四种形式：①，②，③，④．因此有理真分式积分问题可归纳为两点（1）依分解定理将真分式化为部分分式之和后如何确定各常数；（2）四种部分分式积分如何计算．2．真分式的分解举例例1．分解为部分分式．10第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）解因为，去分母，得（*）令，得；令，得，将代入（*）中，并再令，有，即，

4、于是．此种确定A,B,C值的方法称赋值法，上例中的方法称比较系数法．例2．分解为部分分式．解因为，去分母，得，比较系数；；；，得．3．部分分式的积分（1），（2）（3），因为，其中．10第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）又因为，，所以．例如．（4）．分母配方，得，因为，所以，设，令，，，于是．4．有理函数积分例3．计算不定积分．解因为，10第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）所以．例4．计算不定积分．解．从上述例子不难看出，有理函数积分的结果不外乎是有理函数、对数函数、反三角函数，即有理函数的原函数为初等

5、函数．例5．计算不定积分．解因为，又令，得；令，得；令，得．所以．于是=．例6．计算不定积分．10第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）解另一种方法，．二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数．由于各种三角函数都可用及的有理式表示，故三角函数有理式就是的有理式，记作．例如，．1．万能代换例1．计算不定积分．解令，，则，，10第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）即，，，于是=．说明变量代换对三角函数有理式的积分都可以应用，即三角函数有理式的积分，化为有理式积分，但

6、是得到的有理函数积分往往比较繁，因此这种代换不一定是最简单的代换．例2．计算不定积分．解．例3．计算不定积分．解10第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）．2．非三角有理函数的积分例4．计算不定积分．解被积函数不是三角有理式，所以不可用万能代换，因此用分部积分法计算．因为所以，设；则，于是．例5．计算不定积分．解被积函数非三角有理式，用分部积分法计算．设，，于是三、简单无理函数积分表达式中出现根式的函数叫无理函数．如，，，只讨论，及这两类函数积分．主要目的就是去掉根号，变为有理函数的积分．1．形如的积分10第四章不定

7、积分（§4几种特殊类型函数的积分）令，则，，于是为的有理函数积分．例1．计算不定积分．解令,于是．例2．计算不定积分．解令,于是．2．形如积分令．例3．计算不定积分．解因为=令，10第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）于是=（其中）．四．关于积分问题的一些补充说明1．求不定积分的技巧问题从上面讨论看出，求同一个不定积分往往不止一种方法，因此，求不定积分时应根据具体问题，选择最简单的方法，解题时应注意技巧．如，虽然是型，但是如果能先把它化为就立即得到结果，而比用代换简单．再如，虽然是有理函数积分，但是不用有理函数一般

8、积分法更简单，象这样的技巧，只能做相当的练习后才能掌握．2．把积分表示为初等函数的问题前面我们知道，如果连续，则它的原函数一定存在，因为初等函数在其定义区间内是连续的，所以初等函数在它定义区间内必有原函数．但是必须清楚原函数存在是一回事，原函数是否能用初等函数表示又是另一回事．事实上确实有这样的初等函数