几种特殊类型函数的积分(II)

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1、§5.4几种特殊类型函数的积分基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容:1一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和2例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法3(2)用赋值法故4(3)混合法原式=5四种典型部分分式的积分:变分子为再分项积分6例2.求解:已知7例3.求解:原式思考:如何求提示:变形方法同例3,并利用P209例9.8例4.求解:说明:

2、将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.9例5.求解:原式10例6.求解:原式(见P283公式21)注意本题技巧按常规方法较繁11按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!12二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则13例7.求解:令则1415例8.求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换16例9.

3、求解法1令原式17例9.求解法2令原式18例10.求解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令原式192.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令20例11.求解:令则原式21例12.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令22例13.求解:令则原式23内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法

4、,简便计算.简便,24思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式25例题1.求不定积分解：令则,故分母次数较高,宜使用倒代换.262.求不定积分解：原式=前式令;后式配元27