高级生物统计044ppt课件

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1、第四节最优设计对于一定的回归模型，在给定的因子空间的某一区域上，可以设计出多种试验方案，每个方案都存在它的最大误差方差。在这些试验方案中挑选出最大误差方差最小的方案，用它的试验结果估计的回归方程，其回归预测值与实际观测值的拟合程度最高，因而这种试验方案是最优的。最优设计(optimumdesign)就是从试验误差方差最小的基本目的出发，得出的一种试验设计方法。为了判断一种试验设计是不是最优设计，已经提出了很多优良性准则，如D—优良性、G—优良性、E—优良性、U—优良性、A—优良性等。一、D—最优设计原理（一）回归模型与试验方案1、回归模型对于给定的p维欧氏因子空间区域中的点，无论

2、变量之间的回归关系如何，其回归模型的一般形式可表示为：其中，x为自变量组成的p维向量(x1，x2，…，xp)；f1(x)，f2(x)，…，fm(x)都是连续函数；1，2，…，m为m个需要估计的回归系数；ε为随机误差、相互独立，且都服从N(0，σ2)。若记回归模型(4—45)也可表示为：若进行了t次试验，则模型(4-46)的结构矩阵X为：信息矩阵A为模型(4—45)包含了最常见的各种回归模型。例如，当f1(x)，f2(x)，…，fm(x)为一组幂函数时，若取p=2，m=6，模型(4—45)就是二元二次回归模型。2、试验方案假设试验在p维欧氏因子空间区域中的一组点x1，x2，…，

3、xt上进行，每个点的试验重复次数分别为n1，n2，…，nt。这一组点及其对应的重复次数便构成一个试验方案，这种方案称为离散型方案(discretescheme)，用W表示。其中x1，x2，…，xt称为方案W的谱点。离散型方案的信息矩阵A(W)为(4-50)如果将离散型方案中每个点的重复次数用其与总次数的比值pi=ni/N表示，且pi可以在[0，1]中任意取值，这种方案称为连续型方案(continuousscheme)，即其中，pi称为xi点的测度，。连续型方案的信息矩阵A(W)为(4-52)（二）D—优良性与G—优良性1、D—优良性为了确定一个试验方案是不是最优方案，必须给出判断最优

4、性的标准。1943年Wald提出了信息矩阵行列式最大值判别法，1959年Kiefer称这种判别法为D—最优性，又称为D—优良性。对于同一回归模型(4—45)的两个不同的试验方案W1和W2，如果方案W1的信息矩阵行列式的值大于方案W1的信息矩阵行列式的值，即

5、A(W1)

6、>

7、A(W2)

8、，则认为在D—优良性意义上，方案W1比方案W2优良。由于相关矩阵C(W)是信息矩阵A(W)的逆矩阵，

9、C(W)

10、·

11、A(W)

12、=1，因此

13、A(W1)

14、>

15、A(W2)

16、等价于

17、C(W1)

18、>

19、C(W2)

20、。【例4·9】设单因素试验的回归模型为试比较下列两个试验方案的D—优良性。根据模型(4—45)，此例p

21、=1，m=2，f1(x)=1，f2(x)=x，F'(x)=(f1(x)f2(x))=(1x)，为离散型方案。根据(4—48)式，对于试验方案W1，信息矩阵为：其行列式为：W1的相关矩阵及其行列式分别为：对于试验方案W2，相应的计算结果为：由于

22、A(W1)

23、>

24、A(W2)

25、，

26、C(W1)

27、<

28、C(W2)

29、，因此在D—优良性意义上，试验方案W1优于W2。在给定的因子空间的某一区域上，可以设计出多种试验方案。所有方案中信息矩阵行列式最大的方案称为区域上的D—最优方案，简称D—最优方案。显然，D—最优方案是针对因子空间的某一区域而言的，对于不同的区域可能存在不同的D—最优方案。2、G—优

30、良性按照试验方案W进行试验，获得N个观测值y1，y2，…，yN，用最小二乘法可以估计出回归模型(4—46)的回归系数。若记的估计值为b，则其中，其回归方程为：b的方差协方差矩阵回归预测值的方差(4-56)当以σ2为单位时，记回归预测值的方差为，则对于给定的因子空间区域上的任意一个试验方案W，回归预测值的方差d(x，W)在区域上总存在最大值。若该区域上试验方案W1的回归预测值的最大方差小于试验方案W2的回归预测值的最大方差，即则认为在G—优良性意义上，方案W1优于方案W2。【例4·10】试比较【例4·9】中两个试验方案的G—优良性。对于试验方案W1，由(4—57)式得：3x2＋

31、2在区域-1≤x≤1上的最大值为5，因而对于试验方案W23x2-2x+2在区域-1≤x≤1上的最大值为7，因而由于，因此在G—优良性意义上，试验方案W1优于W2。在给定的因子空间的某一区域上，所有方案中回归预测值的最大方差最小的方案称为区域上的G—最优方案，简称G—最优方案，也称最大最小设计(maximindesign)。（三）等价定理Kiefer提出了一个重要的定理，称为等价定理：对于连续型方案，下面两个结论是相互等价的。1、试验方案W*是D—最优方