多项式代数在初等数学中的应用.doc

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多项式代数在初等数学中的应用多项式代数式高等代数的重要组成部分，与初等数学有着密切的联系.因此，研究用多项式代数的知识和方法解决初等数学问题是很有意义的.下面就多项式恒等定理证明曲线系过定点及论文联盟求某些曲线方程；确定一类不等式成立的条件；证明一类等式等应用谈谈其用法.定理设f(x)=aO+alx+…+anxn,g(x)=bO+blx+…bnxn是数域F上的两个多项式，则f(x)=g(x)的充要条件是ai=bi(i=0,1，2…n).特别地，f(x)三0的充要条件是ai=O(i=O,1,2…n).一证明曲线系过定点及求某些曲线方程关于曲线系过定点的证明，已经有许多文献论及，但以下方法更为简便.将参数方程按参数降幂整理成关于参数的恒等式，然后利用多项式的恒等定理，令各项系数为零得一方程组，解此方程组即得曲线系所过定点.例1设a为非负实数，证明曲线y=-ax2-(6a-1)x+5a+l总过两定点，并求出两定点的坐标.证明：将方程构成关于a的恒等式(x2+6x~5)a-(x-y+1)=0对于非零实数a,上式成立，故由多项式的恒等定理(将a视为变元)得从而，所给曲线恒过定点 例2无论实数k取何值，直线y=2kx+k2总与抛物线y=ax2+bx+c相切，求抛物线方程.解：将y=2kx+k2与y=ax2+bx+c联立，得ax2+(b-2k)x+c-k2=0因直线与抛物线相切，故△=(b-2k)2-4a(c_k2)=0,即4(a+l)k2-4bk+b2-4ac=0,因k为任意实数，故上式为关于k的恒等式，即此式不论k为何值总成立.由多项式的恒等定理得解得故所求抛物线方程为2.确定一类严格不等式成立的条件在高等数学中，用小正数e，S可将极限定义得十分精确.在初等数学中，我们也可借助小正数，使一些难已处理的严格不等式转化为多项式的恒等变形，根据多项式的恒等定理，便可轻易地判断出不等式恒成立的条件.例3对任意的实数x,y,下面的不等式x2+4xy+4y2+10x+ay+b>0恒成立，求常数a，b应满足的条件.解：为使不等式恒大于0,须使x2+4xy+4y2+lOx+ay+b为一个实数式的平方加上一个小正数e可令X2+4xy+4y2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+e,即 X2+4xy+4y2+10x+ay+b=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+e根据多项式恒等定理，有所以，当且仅当a=20,且b〉25时，题设不等式恒成立.三.证明一类等式有一类关于组合数的恒等式，可利用牛顿二项式及多项式的恒等定理方便地给予证明.例4求证CnkCmO+Cnk-lCml+…+CniCmk-i+…+CnlCmk-l+CnOCmk=Ckn+m(O^k^min{m,n})(※)其中Cnk表示由n个论文联盟元素中取k个的组合数.证明：利用牛顿二项式定理，可得(1+x)n+m=Cn+mO+Cn+m1x+Cn+mkxk+•••+Cn+mn+mxn+m(l)而(1+x)n(l+x)m=(CnO+Cnlx+…+Cnixi+".+Cnk-lxk_1+Cnkxk+…+Cnnxn)(CmO+Cmlx+…+Cmk_ixk-i+…+Cmk-1xk~l+Cmkxk+…+Cmmxm)=COnCmO+(CnlCmO+CnOCml)x+…+(CnKCOm+Cnk-lClm+…+CniCmk-i+#--+CnlCmk-1+CnOCmk)xk+“.+CnnCmmxn+m(2)由于(1+x)n(1+x)m=(1+x)n+m故由定理得该)式.注：由本例还可得到一些有趣的等式.如令m=n，则(※)式可变为:CnkCnO+Cnk-lCln+…+CniCnk-i+…+CnlCnk-1+CnOCnk二C2nk又由组合公式Cni=Cnn-I,当k=n时即有(CnO)2+(Cnl)2+…+(Cni)2+…+(Cnn-l)2+(Cnn))2=C2Nn