实数基础知识

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1、第十三章实数一、基础知识　1.有理数：整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，如可表示为0.4，可表示为等等；所有形如(m,n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。2.无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。如：π，，-，-……。3.实数：有理数和无理数统称为实数。我们一般用下列两种情况将实数进行分类：　　　4.数轴的三要素为原点、正方向、和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。画数轴地方法：(1)画一条直线（2）在直线上取任一点为原

2、点并用这一点表示0（3）选取正方向（通常向右味正方向）（4）选适当长度为单位长度。5.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地，设是a一个整数，数周上与原点的距离是的点有两个，它们分别在原点左右，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。又如果a表示一个负实数，则-a表示一个正实数。a与-a互为相反数。0的相反数仍是0。如π与-π，与-，m与-m…均互为相反数。相反数的几何意义：在数轴上与原点距离相等的两个点是互为相反数的两个点。在任意一个数前面添上“—”号，新的数就表示原书的相反数。6.实数绝

3、对值（几何意义）：数轴上表示数a的点与原点的距离叫数a的绝对值。实数的绝对值(代数意义)：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即如果a是一个实数，则有

4、a

5、=绝对值的性质：1、0的绝对值是0，绝对值是0的数是0；2、任意一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0；3、任何数的绝对值都不小于原数；4、绝对值是相同整数的数有两个，它们互为相反数；5、互为相反数的两个数绝对值相等；6、绝对值相等的两数相等或互为相反数；7、若几个数绝对值的和为0则这几个数都为0。例如，

6、-

7、=，

8、-π

9、=π，

10、

11、=，

12、-

13、=-(-)=-…　　注意：

14、-a(a<0)是正数，例如：-(-)7．近似数、有效数字和科学计数法对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始到最末一位数字止，都是这个近似数的有效数字。把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤︱a︱≤10,n为整数，叫科学计数法。科学计数法没有单位。8.平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根,它们互为相反数/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。9.立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这

15、个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。10.有理数的运算（1）加法法则：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。③一个数同0相加，仍得这个数。加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（2）减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。加减混合运算可以统一为加法运算：a+b-c=a+b+(-c)。（3）

16、乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。乘法法则的推广：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数个是，积是正数；负因数的个数是奇数个是，积是负数。乘法交换律：ab=ba。乘法结合律：(ab)c=a(bc)。乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。（4）除法法则：①除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数。②0不能作除数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不等于0的数，都得0（5）乘方法则：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。负数的奇次幂是负数

17、，负数的偶次幂是整数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。实数范围内的混运算合顺序：1先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；2同级运算，从左到右进行；3有括号要先算括号里的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。。11．实数大小的比较（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数是正数，左边表示的书是负数（2）正数大于0，负数小于0；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小；（3）设a,，b是任意两实数。若a-b.>0,则a>b；若a-b=0则a=b；若a-b<0则a