数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【ok】

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1、第3章波动方程初始问题的求解——行波法（达朗贝尔公式）（特征线积分法）13.1达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。通解法中有一种特殊的解法―行波法,即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.数学物理方程21.弦振动方程的初始问题-无界限的自由振动（1）物理解释：认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫外力作用。数学物理方程(

2、3.1.1)3（2）一维波动方程的通解：作变换：任意函数数学物理方程4（3）无界限弦自由振动的特解（考虑初始条件）：达朗贝尔公式数学物理方程仅对第一层变量进行积分(3.1.2)5结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波速为a的波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a沿x轴正向传播的波代表以速度a沿x轴负向传播的波（4）达朗贝尔公式的意义：数学物理方程b.只有初始速度时：为的积分原函数。6示意图形（向右传播的波）：数学物理方程7解：将初始条件代入达朗贝尔公式（5）达朗贝尔公式的应用：数学物理方程波动方程8解：将初始条件代入达朗贝尔公式数学物理方程波动方程

3、9解：该问题不能直接运用达朗贝尔公式，但可按该思路进行。特征方程为：令：方程可化为：数学物理方程非波动方程10所以，方程的通解为：带入初始条件：数学物理方程11所以：因此：数学物理方程12解：该问题不能直接运用达朗贝尔原理，但可按该思路进行。特征方程为：令：方程可化为：数学物理方程非波动方程13所以，方程的通解为：带入初始条件：又因为：为有限值，所以：即：数学物理方程14所以：因此：数学物理方程152弦振动方程的初始问题-半无界弦的自由振动物理解释：认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作用，弦线一端被固定。数学物理

4、方程(3.1.3)16为了解决这个问题，可以将半无界弦延拓成无限长的弦，由于边界条件，所以无限长弦的必须为奇函数，其初始条件也必须为奇函数，即：数学物理方程(3.1.4)(3.1.5)17将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：数学物理方程(3.1.6)18若将上述的边界条件改为，即半无限长杆的自由振动，杆的端点自由。为了解决这个问题，可以将半无界弦延拓成无限长的弦，由于边界条件，所以无限长弦的必须为偶函数，其初始条件也必须为偶函数。数学物理方程(3.1.7)19所以：将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：数学物理方程20例子：数学物理方程21应用达朗贝尔公式得到解的

5、形式为：数学物理方程22当0

6、：所以：由于：恒为常数，不妨设为0.数学物理方程28于是有：代入边界条件：即：所以：最终方程的解为：(3.1.10)数学物理方程29例子：其中：数学物理方程305弦振动方程的初始问题--半无限长杆端点受垂直方向力作用时的振动数学物理方程对照本章内容4，对于，端点影响尚未到达，对于这部分杆，可以用达朗贝尔公式，即：(3.1.11)31对于，端点作用不可忽略，此外，在处，初始条件均没有意义，需要延拓，设：其中，和为待定函数。当时，有：代入边界条件，有：数学物理方程32此时的任务是如何确定和设：代入边界条件，发现正好满足。当时，方程的解为：数学物理方程(3.1.12)336弦振动

7、方程的初始问题--无限长弦的强迫振动数学物理方程利用齐次化原理，若满足：则：此时的可以看作是定时间。(3.1.13)34令：所以：即：数学物理方程(3.1.14)35上述方法也称作冲量原理法数学物理方程根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列前后相继的瞬时冲量所引起的振动的解的叠加。代替持续作用力来解决定解问题的方法称为冲量原理法.(3.1.15)36这样纯强迫振动定解问题的解为:数学物理方程37数学物理方程代入上述公式，可得:例子:387弦振动方程的初始问题--无限长弦的强迫振动（初始条件不为零）按照叠加原