利用Bessel函数求解波动方程的定解问题-论文.pdf

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1、第3O卷第4期齐齐哈尔大学学报Vo1．3O．No．4JournalofQiqiharUniversityJuly，2014利用Bessel函数求解波动方程的定解问题金启胜(安庆职业技术学院，安徽安庆246003)摘要：分离变量法是求解波动方程定解问题的一种重要方法。分离变量法的重点在于求特征值及其对应的特征函数。Bessel函数是应用很广泛的一种特征函数，运用Bessel函数的有关性质可以很方便地求解波动方程的定解问题。关键词：Bessel踊数；Bessel方程；初始条件中图分类号：0174．6文献标志码

2、：A文章编号：1007—984X(2014)04—0089—031预备知识众所周知，对拉普拉斯方程或者亥姆霍兹方程进行分离变量将会导出，2阶贝塞尔(Besse1)方程x2y"+xy，+(xz—n：)：0，其解称为贝塞尔(Besse1)函数。根据微分方程解的幂级数理论可得阶贝塞尔方程有两个广义幂级数特解∞卅2n~2mmx!Fn+(2nm+m+l、’J(、旦，．、X一2(x)=∑(一1)x)埘(一面卅=0=0二，，f：1一，l1-，下前者称为阶第一类贝塞尔函数，后者称为一阶第一类贝塞尔函数。由此定义第二类贝塞

3、尔函数J(x)cosnx-J_(x)．——_——一为非整数(x)=—，S1n，Z万J(x)cosaz-J_~(x)——一lim————为整数_，—}"SIno'；z-所以，阶贝塞尔(Besse1)方程的通解可写成．=黜’()有两个基本递推公式：d(x)】=_l(x)，昙[()c)】=-X-nJn+l(x)。同理可得(x)有类似的递推公式”。。2应用举例求解波动方程的定解问题fc⋯B(1)』甜=o(2)I“l，：。=c一言，，I，：。=。(3)解令(，，f)：R()丁(f)，代人方程(1)得R=日z(R一1

4、R)，分离变量得’收稿日期：2014—03—20基金项目：2013年安徽省教学研究项I1(2013jyxm375)；2013年安徽省精品资源共享课程项目(2013gxk132)作者简介：金扁胜(1972一)，男．安徽桐城人，副教授，硕士，主要从事微分方程方面的研究，jqs98@aqvte．en。·90·齐齐哈尔大学学报2014拒：()a2TR。、。。。即有+la=o(4)lIr2R+旭+~,r2R：0(5)显然，I尺(0)I<+。。，再由方程(2)得()=0。而方程(5)为零阶贝塞尔方程，通解为R(，．)

5、=CJo(42r)+D(√)由IR(o)I<+oo知D=0，EhR(B)=0~Jo(42)=0，即√是()零点，以表示()正零点，得()=0。所以方程(5)在(0)I<+∞，()=0条件下特征值及其对应的特征函数为2，⋯，，(0)’，，‘一’’。。。，(r)=Jo(／-'m，．)将代人方程(4)得cosn竿at~~)t如此以来，“(州)=(acos．m+sin)(譬，．)。根据叠加原理可知，方程(1)满足初始条件方程(2)的解为=兰(s+n于au(O)t寺u(o)，)m=l由初始条件方程(3)的第二个条件

6、得=0，第一个条件得f~B(1一~)(吾tt(O)r)一口—m葶2因为c譬毒’c毒c瑚c(譬=(毒))=去B(()+(’一hB2o)hBz一从而求得的值第4期利用Bessel函数求解波动方程的定解问题·91·(x)所以，方程(1)满足初始条件方程(2)、(3)的解为()2h(’)Jo(x)dx]cos口fL，0(昔(O)，)u(r，f)=∑m=l3结束语利用贝塞尔函数的一些性质，比如在计算贝塞尔函数积分时运用到它的递推公式、零点分布性质等，可以方便求解波动方程的定解问题。不仅如此，对于热传导方程、Lapl

7、ace方程的定解问题也可以利用贝塞尔函数的性质来求解。参考文献【l】谷超豪，李大潜，陈恕行，等．数学物理方程【M]．北京：高等教育出版社，2005：193—196【2】段志文，韩淑霞．数学物理方程与特殊函数【M]．北京：高等教育出版社，2008：119—135【3]张慧清，吴小吟，杨小军．数学物理方程与特殊函数【M】．西安：西北工业大学出版社，2005：147—149【4】陈祖墀．偏微分方程[M】．合肥：中国科学技术大学出版社，2004：65—94UsingBesselfunctionstofindfix

8、edsolutionstowaveequationsJINQi-sheng(AnqingVocationalandTechnicalCollege，AnhuiAnqing246003，China)Abstract：Themethodofseparationofvariablesisanimportantmethodforfindingsolutionstoheatconductionequations．Themethodisu