信号与系统第八章z变换课件

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1、第八章Z变换与离散系统的Z域分析8.1Z变换的定义8.2Z变换收敛区及典型序列Z变换8.3逆Z变换Z变换的性质定理8.4Z变换的性质定理8.5离散系统的复频域分析8.1Z变换的定义Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理想抽样信号为式中,T为抽样间隔。对上式取双边拉氏变换，得到交换运算次序，并利用冲激函数的抽样性，得到抽样信号的拉氏变换为(8.1-1)令z=esT或，引入新的复变量，式(8.1-1)可写为(8.1-2)式(8.1-2)是复变量Z的函数（T是常数），可写成(8.1-3)式(8.1-3)是双边Z变换的定义。如果x(n

2、)是因果序列，则式(6.1-3)的Z变换为(8.1-4)总结：双边Z变换的定义式单边Z变换的定义式只有当级数收敛时，Z变换才有意义即：（2）X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以

3、a

4、为半径的圆外，而X2(z)的收敛区是以

5、a

6、为半径的圆内。此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边Z变换，不同序列的ZT表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不同。所以为了惟一确定Z变换所对应的序列，双边Z变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明X(z)的收敛区。1.有限长序列图8.2-1有限长序列示意图Z变换为：X(z)是有限项级数，级数

7、每项有界，则有限项之和亦有界。当x(n)有界时，n1≤n≤n2,Z变换的收敛区取决于

8、z

9、-n，(1)0≤n1，X(z)只有z的负幂项,收敛区为0<

10、z

11、≤∞(2)n2≤0,X(z)只有z的正幂项，收敛区为0≤

12、z

13、<∞（3）n1≤0,n2≥0,收敛区为0<

14、z

15、<∞(4)x(n)=aδ(n)X(z)=a，0≤

16、z

17、≤∞例8.2-2已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。解收敛域为0<

18、z

19、≤∞2.右边序列右边序列是有始无终的序列，即n2→∞，如图6.2-2所示。右边序列的Z变换为若满足图8.2-2右边序列示意图即右边序列的收敛域为一个圆

20、外的部分：当n1≥0时，X(z)的和式中没有z的正幂项，收敛域为例8.2-3已知序列求X(z)。解推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则右边序列的收敛域是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。收敛域是以X(z)的极点1/3为半径的圆外3.左边序列左边序列是无始有终的序列，即n1→-∞，如图8.2-3所示。左边序列的Z变换为当满足图8.2-3左边序列示意图即左边序列的收敛域为一个圆内的部分：若n2≤0，收敛域还包含’0’点例8.2-4已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。解推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点

21、，则左边序列收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。收敛域是以X(z)的极点b为半径的圆内4.双边序列双边序列是无始无终的序列，即n1→-∞，n2→∞。其Z变换为将双边序列的X(z)分为两部分双边序列的收敛域为圆环：注意：若Rx2

22、n

23、，c为实数，求X(z)。n<0时，解：n≥0时讨论：(1)

24、c

25、<1时，c

26、n

27、波形如图6.2-4所示。图8.2-4

28、c

29、<1双边序列示意图(2)

30、c

31、>1时，c

32、n

33、波形如图6.2-5所示。因为无公共收敛区，所

34、以X(z)的双边Z变换不存在。图8.2-5

35、c

36、>1双边序列示意图8.2.2典型序列的Z变换连续时间系统中非因果信号较少，但在离散系统中非因果序列(单边序列、双边序列)却有一定的应用。1.δ(n)2.u(n)3.斜变序列nu(n)

37、z-1

38、<1可利用u(n)的Z变换，等式两边分别对z-1求导，得两边各乘以z-14.指数序列5.单边正、余弦序列由指数序列的可推得将正、余弦序列分解为两个指数序列

39、z

40、>1同理

41、z

42、>16.双边指数序列表8-1常用序列Z变换表8.3逆Z变换逆Z变换也称反变换，Z反变换可用英文缩写Z-1表示，是由X(z)求x(n

43、)的运算，若(8.3-1)则由柯西积分定理，可以推得逆变换表示式为(8.3-2)即对X(z)zn-1作围线积分，其中c是在X(z)的收敛区内一条逆时针的闭合围线。一般来说，计算复变函数积分比较困难，所以当X(z)为有理函数时，介绍常用的两种反变换方法。8.3.1幂级数展开法将X(z)展开，X(z)=…+x(-1)z+x(0)+x(1)z-1+…，其系数就是x(n)。特别的，对单边的左序列或右序列，当X(z)为有理函数时，幂级数法也称长除法。举例说明用长除法将X(z)展开成级数求得X(z)的方法。例8.3-1已知,求x(n)。解因为收敛区在1/

44、

45、a

46、外，序列为右序列，应展开为z的降幂级数。由此可得x(n)=a-nu(n)。例6.3-2已知，求x(n)。解因为收敛区在1/

47、a

48、圆内，序列为左序