信号与系统Z变换

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1、信号与系统（信息工程）第六章Z变换§6.1Z变换§6.2Z的性质§6.3Z反变换§6.3Z变换与拉普拉斯变换信号与系统（信息工程）6.1Z变换1、从拉普拉斯变换到Z变换对连续信号x(t)进行理想抽样，即x(t)乘以单位冲激序列δT(t)，T为抽样间隔，得到抽样信号为6.1.1Z变换的定义信号与系统（信息工程）令z=esT，Xs(s)变为X(z)，得对xs(t)取双边拉普拉斯变换：取T=1，得双边Z变换信号与系统（信息工程）单边Z变换当0≤n≤∞时，得单边Z变换2、从离散时间序列直接定义设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…，x(n)，…}，则x(n

2、)的单边Z变换定义为：双边Z变换定义为：信号与系统（信息工程）例：已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。解：由等比数列求和的性质可知，上式的级数在

3、z-1

4、≥1时是发散的，只有在

5、z-1

6、＜1时才收敛。这时无穷级数可以用封闭形式表示为信号与系统（信息工程）6.1.2Z变换的收敛域对于任意给定的有界序列x(n)，使其Z变换式收敛的所有z值的集合，称为Z变换X(z)的收敛域。X(z)存在或级数收敛的充分条件是幂级数满足绝对可和因为信号与系统（信息工程）为满足上述绝对可和的条件，就必须要对

7、z

8、有一定范围的限制。这个范围一般可表示为由此可见Z变换的收敛域为z平面上是一个

9、以Rx-及Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域。信号与系统（信息工程）根据离散序列x(n)的特性讨论X(z)的收敛域：1、x(n)为有限长序列(1)n1＜0,n2＞0时，有信号与系统（信息工程）上式中除了第一项的z=∞处及第二项中的z=0处外都收敛，所以总收敛域为0＜

10、z

11、＜∞。有时将这个开域(0,∞)称为“有限z平面”。(2)n1＜0,n2＜0时，有显然其收敛域为0≤

12、z

13、＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞外都收敛。(3)n1＞0,n2＞0时，有显然其收敛域为0＜

14、z

15、≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0外都收敛。信号与系统（信息工程）(4)特殊情况，n1=n

16、2=0时，这就是序列，它的收敛域为整个闭域z平面，即0≤

17、z

18、≤∞。信号与系统（信息工程）例：已知有限长序列x(n)=u(n+1)-u(n-1)。求x(n)的双边Z变换及其收敛域。解：所以，当时，上式级数收敛。于是得信号与系统（信息工程）2、x(n)为右边序列Z变换为(1)n1≥0时，这时的右边序列就是因果序列。因此，n1≥0时的右边序列的收敛域可以写成

19、R1

20、＜

21、z

22、≤∞（

23、R1

24、=

25、z1

26、）信号与系统（信息工程）例：求指数序列x(n)=anu(n)的Z变换。解：显然指数序列是一个因果序列()2信号与系统（信息工程）3、x(n)为左边序列当n1<0，绝对可和不成立

27、的最小z值

28、z1

29、=R2，则X(z)收敛域为

30、z

31、0时，剔除z=0点，收敛域为0<

32、z

33、

34、b-1z

35、＜1，即

36、z

37、＜

38、b

39、时此级数收敛。此时例：求左边序列x(n)=-bnu(-n-1)(b＜1)的Z变换。解：由信号的Z变换的定义可知信号与系统（信息工程）收敛域零、极点分布╳信号与系统（信息工程）4、x(n)为双边序列当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列，它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此序列进行Z变换得到左边序列右边序列第一项为右边序列：收敛域

40、z

41、>R1第二项为左边序列：收敛域

42、z

43、

44、

45、z

46、

47、b

48、>

49、a

50、。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。解x(n)的双边Z变换为信号与系统（信息工程）

51、a

52、<

53、z

54、<

55、b

56、baa+b2两个极点：a和b两个零点：z=0和z=(a+b)/2Re[z]jIm[z]信号与系统（信息工程）6.1.3典型序列的Z变换jjj(1)x(n)=δ(n)信号与系统（信息工程）（2）(3)x(n)=u(n)

57、z

58、>1信号与系统（信息工程）

59、z

60、

61、<1(4)x(n)=-u(-n-1)(5)

62、z

63、>

64、a

65、(6)

66、z

67、<

68、a

69、信号与系统（信息工程）(7)单边正弦序列sinω0nu(n)和余弦序列cosω0nu(n)的Z变换(8)x(n)=nu(n)的Z变换信号与系统（信息工程）6.2Z变换的性质1.线性若则信号与系统（信息工程）例：已知x(n)=u(n)–3nu(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)及其收敛域。

70、z

71、>1

72、z

73、<31<

74、z

75、<3由线性性质得信号与系统（信息工程）2.位移(时移)性式中，m为正整数(1)双边Z变换信号与系统（信息工程）根据双边Z变换的定义，则有令k=n+m,则有证明：信号