信号处理第八章z变换离散时间系统的z变换

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1、第八章z变换、离散时间系统的z变换§8.1引言说明§8.2z变换的定义、典型序列的z变换z变换的定义五．正弦与余弦序列§8.3z变换的收敛域§8.4逆z变换收敛域与原函数的对应例8-4-1例8-4-2§8.5z变换的基本性质主要内容同理二．位移性解续例题§8.7用z变换解差分方程序言例8-7-1原教材例7-102b.由储能引起的零输入响应c.全响应七．时域卷积定理收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。注意：如果在某些线性组合中某些零点与极

2、点相抵消，则收敛域可能扩大。例8-5-7解：由Yz求yn八．z域卷积定理（自阅）描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法z变换方法差分方程经z变换→代数方程；可以将时域卷积→频域（z域）乘积；部分分式分解后将求解过程变为查表；求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。一．应用z变换求解差分方程步骤1对差分方程进行单边z变换（移位性质）2由z变换方程求出响应Yz3求Yz的反变换，得到yn一．步骤解：方程

3、两端取z变换例8-7-2解：已知系统框图?列出系统的差分方程.求系统的响应yn1列差分方程，从加法器入手?3差分方程两端取z变换，利用右移位性质2a.由激励引起的零状态响应零状态响应为即即零输入响应为3．极点决定部分分式形式对一阶极点例8-4-3同理：B＝2查表右　　右右　　左左　　左高阶极点（重根）例8-4-4二．幂级数展开法z变换式一般是z的有理函数，可表示为：直接用长除法进行逆变换（是一个z-1的幂级数）1．幂级数展开法2．右边序列的逆z变换3．左边序列的逆z变换线性位移性序列线性加权序列指数加权初

4、值定理终值定理时域卷积定理z域卷积定理（自阅）一．线性a,b为任意常数。ROC：一般情况下，取二者的重叠部分某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。表现为叠加性和均匀性）例8-5-1解：已知并且例8-5-2零极点相消，收敛域扩大为整个z平面1.双边z变换2.单边z变换1左移位性质2右移位性质原序列不变，只影响在时间轴上的位置。1．双边z变换的位移性质2．单边z变换的位移性质若xn为双边序列，其单边z变换为1左移位性质2右移位性质而左移位序列的单边z变换不变。例8-5-3解:方程两边取z变换带

5、入边界条件整理为三．序列线性加权z域微分共求导m次例8-5-4解：四．序列指数加权同理证明：（z域尺度变换）例8-5-5解：收敛域：同理：五．初值定理推理x1＝？理解例8-5-6解：另外，因为分子比分母低一次，所以x00。六．终值定理无无有，1有，0终值存在的条件???1Xz的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;例：，终值为02若极点位于单位圆上，只能位于，并且是一阶极点.注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有第一条。例：un，终值为1***求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；z变换的历

6、史可是追溯到18世纪；20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展；70年代引入大学课程；今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理本章主要讨论：Z变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程；利用z平面零极点的分布研究系统的特性。一．引言二．z变换的导出抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换对取拉氏变换三．对z变换式的理解若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序列）存在的序列取z变换一．单位样值函数二．单位阶跃序列三．斜变序列的

7、z变换已知两边同时乘以z-1，可得（用间接方法求）同理可得n是离散变量，所以对n没有微积分运算；z是连续变量，所以对z有微积分运算；四．指数序列1．右边序列注意：z变换相同时，左边序列的定义。单边余弦序列同理收敛域的定义两种判定法讨论几种情况一．收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。对于任意给定的序列xn，能使ROC:Regionofconvergence不同的xn的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。二．两种判定法1．比值判定法若有一个正项级数，则：?1

8、：收敛?1：可能收敛也可能发散?1：发散即令正项级数的一般项的n次根的极限等于?，则?1：收敛?1：可能收敛也可能发散?1：发散2．根值判定法三．讨论几种情况1．有限长序列的收敛域2．右边序列的收敛3．左边序列的收敛4．双边序列的收敛所以，收敛域为的z平面例8-3-12．右边序列的收敛ROC：例8-3-2若该序列收敛，则要求即收敛域为：3．左边序列的收敛ROC:例8-3-3收敛域为：4．双边序列的收敛例8-3-4ROC:四．总