高中数学教学论文 几类递推数列通项公式求解策略 苏教版必修5

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1、几类递推数列的通项公式的求解策略已知递推数列求通项公式,是数列中一类非常重要的题型,也是高考的热点之一.数列的递推公式千变万化,由递推数列求通项公式的方法灵活多样,下面谈谈它们的求解策略.一、方法:利用叠加法,,,.例1.数列满足,,求数列的通项公式.解:由得===例2.数列满足,且,求数列的通项公式.分析:注意到左右两边系数与下标乘积均为,将原式两边同时除以,变形为.令,有,即化为类型,以下略.二、方法:利用叠代法,,,.例3.数列中,且,求数列的通项.解:因为,所以===三、,其中为常数,且当出现型时可利用叠代法求通项公式,即由得=或者利用待定系数法,构造一个公比为

2、的等比数列,令,则即,从而是一个公比为的等比数列.如下题可用待定系数法得3用心爱心专心,可将问题转化为等比数列求解.待定系数法有时比叠代法来地简便.例4.设数列的首项,,,求数列通项公式.解:令,又∵,,∴,∴,又,∴是首项为,公比为的等比数列,即,即.四、,为常数方法:可用下面的定理求解:令为相应的二次方程的两根(此方程又称为特征方程),则当时,;当时,,其中分别由初始条件所得的方程组和唯一确定.例5.数列,满足:,且,,求,.解:由得,,代入到式中,有,由特征方程可得,代入到式中,可得.说明:像这样由两个数列,构成的混合数列组求通项问题,一般是先消去(或),得到(或

3、),然后再由特征方程方法求解.五、型,这里为常数,且例6.在数列中,,其中,求数列通项公式.解:由,,可得,所以为等差数列,其公差为,首项为.故,所以数列的通项公式为.评析:对的形式,可两边同时除以,得,令有,从而可以转化为累加法求解.六、一般地,若正项数列中,,则有3用心爱心专心,令(为常数),则有.数列为等比数列,于是,从而可得.例7.已知各项都是正数的数列满足,,求数列的通项公式.分析:数列是一个二次递推数列,虽然不是基本冪型,但由它可以构造一个新的冪型数列,通过求的通项公式而达到求数列通项公式的目的.解:由已知得令,则有.又,,从而.取对数得,即.是首项为,公比

4、为的等比数列,.3用心爱心专心

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