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1、等比数列学案 第3课时 等比数列的前n项和 知能目标解读 1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和. 2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况. 3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题. 重点难点点拨 重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题. 难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.
2、 学习方法指导 1.等比数列的前n项和公式 （1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为 na1 (q=1) Sn= . (q≠1) 也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论. （2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q≠1)，an时，用公式S
3、n=. 2.等比数列前n项和公式的推导 除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导. (1)合比定理法 由等比数列的定义知：==…==q. 当q≠1时，=q,即=q. 故Sn==. 当q=1时，Sn=na1. (2)拆项法 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an) 当q≠1时，Sn==. 当q=1时，Sn=na1. (3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2) ∵当n≥2时，Sn=a
4、1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1 ∴Sn=a1+q(Sn-an) 即(1-q)Sn=a1(1-qn) 当q≠1时，有Sn=, 当q=1时，Sn=na1. 注意： (1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧. (2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an•bn}的前n项和. 3.等比数列前n项和公式的应用 （1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组
5、知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量. （2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论. 4.等比数列前n项和公式与函数的关系 (1)当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数. 当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.
6、 (2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点. 知能自主梳理 1.等比数列前n项和公式 （1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn= = ;当q=1时，Sn= . (2)推导等比数列前n项和公式的方法是 . 2.公式特点 （1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为 . （2）在
7、等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知 求 . ［答案］ 1.（1） na1 (2)错位相减法 2.（1）等比数列 （2）三 二 思路方法技巧 命题方向 等比数列前n项和公式的应用 ［例1］ 设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q. ［分析］ 应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论. ［解析］ 当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件； 当q≠1时，=3a1q2, 因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q)
8、, 2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0, 解得q=-. 综上所述，公比q的值是1或－. ［说明］ （1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量. （2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论. （3）等比数列前n项和公式中
