2009届全国名校真题模拟专题训练12-导数及极限解答题1(数学)[1]

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1、2009届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设函数(Ⅰ)求函数的极值点;(Ⅱ)当p>0时,若对任意的x>0,恒有,求p的取值范围;(Ⅲ)证明:解:(1),当上无极值点当p>0时,令的变化情况如下表:x(0,)+0-↗极大值↘从上表可以看出:当p>0时,有唯一的极大值点(Ⅱ)当p>0时在处取得极大值,此极大值也是最大值,要使恒成立,只需,∴∴p的取值范围为[1,+∞(Ⅲ)令p=1,由(Ⅱ)知,∴,∴∴∴结论成立2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知上是减函数,

2、且。(1)求的值,并求出和的取值范围。(2)求证。(3)求的取值范围,并写出当取最小值时的的解析式。解:(1)(2)(3)3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行,(1)求常数a、b的值;(2)求函数f(x)在区间[0,t]上的最小值和最大值。(t>0)解:(1)a=-3,b=2;(2)当23时,f(x)的最大值为f(t)=t3-3t2+2;当x=2时,f(x)的最小值为f(2)=-2。5、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知(m为

3、常数,且m>0)有极大值,(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)求曲线的斜率为2的切线方程.解:(Ⅰ)则,由列表得:x-m+0-0+极大值极小值,∴.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,则∴或由,.所以切线方程为:即;或即4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知函数且是的两个极值点,,(1)求的取值范围;(2)若,对恒成立。求实数的取值范围;解:(1),由题知:;(2)由(1)知:,∴对恒成立,所以:5、(江西省五校2008届高三开学联考)已知函数(I)求f(x)在[0,1]上的极值;(II)若对任意成立,求实数a的取值范围;(III)若关于x的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求

4、实数b的取值范围.解:(I),令(舍去)单调递增;当单调递减.上的极大值(II)由得,…………①设,,依题意知上恒成立,,,上单增,要使不等式①成立,当且仅当(III)由令,当上递增;当上递减而,恰有两个不同实根等价于6、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)求下列各式的的极限值①②)答:①②7、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设f(x)=(a>0)为奇函数,且

5、f(x)

6、min=,数列{an}与{bn}满足如下关系:a1=2,,.(1)求f(x)的解析表达式;(2)证明:当n∈N*时,有bn≤.解:(1)由f(x)是奇函数,得b=c=0,由

7、f

8、(x)min

9、=,得a=2,故f(x)=(2)∴===…=,而b1=,∴=当n=1时,b1=,命题成立,当n≥2时,∵2n-1=(1+1)n-1=1+≥1+=n∴<,即bn≤.8、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)设f(x)=px--2lnx,且f(e)=qe--2(e为自然对数的底数)(1)求p与q的关系;(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;解:(I)由题意得f(e)=pe--2lne=qe--2Þ(p-q)(e+)=0而e+≠0∴p=q…………4分(II)由(I)知f(x)=px--2lnxf’(x)=p+-=令h(x)=

10、px2-2x+p,要使f(x)在其定义域(0,+¥)内为单调函数,只需h(x)在(0,+¥)内满足:h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.①当p=0时,h(x)=-2x,∵x>0,∴h(x)<0,∴f’(x)=-<0,∴f(x)在(0,+¥)内为单调递减,故p=0适合题意.②当p>0时,h(x)=px2-2x+p,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为x=∈(0,+¥),∴h(x)min=p-只需p-≥1,即p≥1时h(x)≥0,f’(x)≥0∴f(x)在(0,+¥)内为单调递增,故p≥1适合题意.③当p<0时,h(x)=px2-2x+p,其图象为开口向下的抛物线,对称

11、轴为x=Ï(0,+¥)只需h(0)≤0,即p≤0时h(x)≤0在(0,+¥)恒成立.故p<0适合题意.…………11分综上可得,p≥1或p≤0…………12分另解:(II)由(I)知f(x)=px--2lnxf’(x)=p+-=p(1+)-要使f(x)在其定义域(0,+¥)内为单调函数,只需f’(x)在(0,+¥)内满足:f’(x)≥0或f’(x)≤0恒成立.…………6分由f’(x)≥0Ûp(1+)-≥0Ûp≥Ûp≥()max,x>0∵≤=1,且x=1时等号成立,故()max=1∴p≥1…………9分由f’(x)≤0Ûp(1+)-≤0Ûp≤Ûp≤()min,x>0而>

12、0且x→0时,→0,故p

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