2009届全国名校真题模拟专题训练12-导数与极限解答题2(数学)

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1、大毛毛虫搜集精品高中数学资源2009届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限三、解答题(第二部分)51、已知函数，（1）求函数的最小值；（2）若，求证：．解：（1）=，………………2分当时，，所以当时，，则函数在上单调递增，所以函数的最小值；…………………………5分（2）由（1）知，当时，，∵，∴，①……7分∵，∴②………………………10分由①②得…………………………12分52、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b,其中a>0．设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在

2、公共点处的切线相同．(Ⅰ)用a表示b；(Ⅱ)求证：f(x)≥g(x)，(x>0)．大毛毛虫搜集精品高中数学资源大毛毛虫搜集精品高中数学资源53、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知函数在处取得极值，（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.解：①又…………4分由设即大毛毛虫搜集精品高中数学资源大毛毛虫搜集精品高中数学资源…………12分54、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知函数处连续。（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式答案：（1）（2）55、(黑龙江省哈尔滨三中

3、2008年高三上期末)设函数（1）如果a=1，求曲线的切线方程；（2）当恒成立，求a的取值范围。答案：（1）（2）a≥656、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知a为实数，（1）若在[—4，4]上的最大值和最小值；（2）若上都是递增的，求a的取值范围。解：（1）x(—∞,－1)—1+0—0+大毛毛虫搜集精品高中数学资源大毛毛虫搜集精品高中数学资源增极大减极小增（2）均成立，57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知，其中.（Ⅰ）求使在上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求在上的最大值；（Ⅲ）解不等式．解：（1）.,时，，即.当时，,

4、即.在上是减函数的充要条件为.………（4分）（2）由（1）知，当时为减函数，的最大值为；当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，时取最大值，最大值为，即……（13分）大毛毛虫搜集精品高中数学资源大毛毛虫搜集精品高中数学资源（3）在（1）中取，即,由（1）知在上是减函数.，即，，解得或.故所求不等式的解集为[……………（8分）58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。（1）试求函数的单调区间；（2）已知各项不为零的数列满足，求证：；（3）设，为数列

5、的前项和，求证：。（1）设∴∴由又∵∴∴……3分于是由得或；由得或故函数的单调递增区间为和，单调减区间为和……4分（2）由已知可得，当时，两式相减得∴或大毛毛虫搜集精品高中数学资源大毛毛虫搜集精品高中数学资源当时，，若，则这与矛盾∴∴……6分于是，待证不等式即为。为此，我们考虑证明不等式令则，再令，由知∴当时，单调递增∴于是即　　　①令，由知∴当时，单调递增∴于是即　　　　②由①、②可知……10分所以，，即……11分（3）由（2）可知则在中令，并将各式相加得即……14分59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)若函数（Ⅰ）

6、求函数的单调区间（Ⅱ）若对所有的成立，求实数a的取值范围.解：（1）的定义域为…………12分…………2分大毛毛虫搜集精品高中数学资源大毛毛虫搜集精品高中数学资源①当…………3分②时…………4分…………5分综上：单调递减区间为的单调递增区间（0，+）…………6分（2）…………7分…………8分则…………9分…………10分…………11分…………12分另解：…………7分大毛毛虫搜集精品高中数学资源大毛毛虫搜集精品高中数学资源…………8分单增…………9分①当…………11分②当不成立…………12分综上所述60、(湖北省荆门市2008届上期末)已知函

7、数.（1）求函数在上的最大值、最小值；（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；（3）求证：≥N*）.解：（1）∵f¢(x)=∴当xÎ时，f¢(x)>0，　∴在上是增函数故，.……………………4分（2）设，则，∵时，∴，故在上是减函数.又，故在上，，即，∴函数的图象在函数的图象的下方.……………………8分（3）∵x>0，∴，当时，不等式显然成立；当≥时，有大毛毛虫搜集精品高中数学资源大毛毛虫搜集精品高中数学资源≥∴≥N*）61、(湖北省荆门市2008届上期末)设函数相切于点（1，－11）。（1）求a，b的值；（2）讨论函数的单

8、调性。解：（1）求导得………………2分由于相切与点（1，－11），所以………………5分解得………………6分（2）由令所以当是增函数，………………8分当也是增函数；………………10分当是减函数。62、(湖北省