根与系数的关系

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1、一元二次方程根与系数对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分

2、析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 　　分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。   　解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，        ∴         解得；        ∵方程（2）没有实数根，       ∴          解得；      于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是    

3、  其中，的整数值有或       当时，方程（1）为，无整数根；       当时，方程（1）为，有整数根。 10解得：       所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 　　说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。 　　二、判别一元二次方程两根的符号。 　　例1：不解方程，判别方程两根的符号。　　　　分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式

4、△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为，∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根． 　　三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 　　例

5、2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 　　分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 　　解法一：把代入原方程，得： 10　　 　　即　　解得　　当时，原方程均可化为：　　，　　解得： 　　∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 　　解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得： ， ∵，∴把代入，可得： ∴把代入，可得：， 即解得 ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 说

6、明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。 　　例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。 　　解：∵方程有两个实数根，　　∴△ 　　解这个不等式，得≤0　　设方程两根为　　则， 　　∵ 　　∴ 　　∴ 10　　整理得： 　　解得： 　　又∵，∴ 说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。 四、运用判别式及根与系数的关系解题。 　　例5：已知、是关于的一

7、元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由， 　　解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有 ∴ 又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：     假设、同号，则有两种可能：   （1）       （2） 若，则有：； 即有： 解这个不等式组，得 10∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。     若，  则有： 即有： 解这个不等式组，得； 又∵，∴当时，两根能同号  说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元

8、二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。    既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。 　　有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这