根与系数的关系

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1、一元二次方程根与系数对于一元二次方程,当判别式△=时,其求根公式为:;若两根为,当△≥0时,则两根的关系为:;,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当,时,那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点。学习中,老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外,还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况,以及应用求根公式求出方程的两个根,进而分解因式,即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分

2、析,希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解?   分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。    解:∵方程(1)有两个不相等的实数根,        ∴         解得;        ∵方程(2)没有实数根,       ∴          解得;      于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是    

3、  其中,的整数值有或       当时,方程(1)为,无整数根;       当时,方程(1)为,有整数根。 10解得:       所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。   说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出,这也正是解答本题的基本技巧。   二、判别一元二次方程两根的符号。   例1:不解方程,判别方程两根的符号。    分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式

4、△,但△只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。 解:∵,∴△=—4×2×(—7)=65>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为,∵<0 ∴原方程有两个异号的实数根。 说明:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,(1)若,则方程有一正一负根;(2)若,,则方程有两个正根;(3)若,,则方程有两个负根.   三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。   例

5、2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。   分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。   解法一:把代入原方程,得: 10     即  解得  当时,原方程均可化为:  ,  解得:   ∴方程的另一个根为4,的值为3或—1。   解法二:设方程的另一个根为,根据题意,利用韦达定理得: , ∵,∴把代入,可得: ∴把代入,可得:, 即解得 ∴方程的另一个根为4,的值为3或—1。 说

6、明:比较起来,解法二应用了韦达定理,解答起来较为简单。   例3:已知方程有两个实数根,且两个根的平方和比两根的积大21,求的值。 分析:本题若利用转化的思想,将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程,即可求得的值。   解:∵方程有两个实数根,  ∴△   解这个不等式,得≤0  设方程两根为  则,   ∵   ∴   ∴ 10  整理得:   解得:   又∵,∴ 说明:当求出后,还需注意隐含条件,应舍去不合题意的。 四、运用判别式及根与系数的关系解题。   例5:已知、是关于的一

7、元二次方程的两个非零实数根,问和能否同号?若能同号,请求出相应的的取值范围;若不能同号,请说明理由,   解:因为关于的一元二次方程有两个非零实数根,∴则有 ∴ 又∵、是方程的两个实数根,所以由一元二次方程根与系数的关系,可得:     假设、同号,则有两种可能:   (1)       (2) 若,则有:; 即有: 解这个不等式组,得 10∵时方程才有实树根,∴此种情况不成立。     若,  则有: 即有: 解这个不等式组,得; 又∵,∴当时,两根能同号  说明:一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元

8、二次方程中根与系数的内在联系,是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具,也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样,是设计考察创新能力试题的良好载体,在中考中与此有联系的试题出现频率很高,应是同学们重点练习的内容。    既要熟悉问题的常规解法,也要随时想到特殊的简捷解法,是解题能力提高的重要标志,是努力的方向。   有关一元二次方程根的计算问题,当根是无理数时,运算将十分繁琐,这

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