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1、离散数学(II)古典代数与近世代数古典代数的研究对象：方程以方程根的计算与分布为其研究中心近世代数的研究对象：代数系统古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数古典代数的发展过程一元一次方程公元前1700年一元二次方程公元前几世纪巴比伦人一元三次方程我国：在公元七世纪一般的近似解法唐朝数学家王孝通《缉古算经》西方：16世纪意大利数学家卡丹公式古典代数的发展过程一元四次方程FerrariL化为求一个三次方程和两个二次方程的根一元五次方程失败：EulerL(1707--1783)、Vandemonde、L
2、agrangeJL、RuffiniP、GaussKF19世纪法国青年数学家Galois:五次以上方程无根式解Galois(1811—1832)--近世代数的创始人EvaristeGalois近世代数的特点--抽象代数系统：群环域格布尔代数离散数学II第六章群与环§6.1代数系统代数运算的定义及其性质代数系统的定义二元代数运算设S是一个非空集合，称S×S到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a，b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f（a，b）=c，常记为a*b=c。Note：代数运算是闭运算
3、。该运算具有很强的抽象性，不限于+，-，*，/，意义很广泛。类似地，可定义S的n元代数运算：Sn到S的映射。代数运算的定义加法和乘法是自然数集N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算加法、减法、乘法都是整数集Z上的二元代数运算；除法不是Z上的二元代数运算乘法、除法是非零实数集R*上的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算代数运算的例子矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算。设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，则∩、∪是ρ（S）上的二元代数运算。∧、∨、→、都是真值集合{0，1}上
4、的二元代数运算。代数运算的例子设*是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b∈S，a*b=b*a都成立，则称运算*满足交换律。例.设Q为有理数集合，对任意a,b∈Q,定义Q上的运算☉如下：a☉b=a+b-a•b，则☉是Q上的二元代数运算，且满足交换律：a☉b=a+b-a•b=b+a-b•a=b☉a代数运算的性质—交换律设*是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b，c∈S，(a*b)*c=a*(b*c)都成立，则称运算*满足结合律。例.设A是一个非空集合，对任意a,b∈A，定义A上的运算☉如下：a☉b=b，则☉
5、是A上的二元代数运算，且满足结合律:(a☉b)☉c=b☉c=ca☉(b☉c)=a☉c=c代数运算的性质—结合律设*是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a*a=a,则称a是关于运算*的幂等元。如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算*满足等幂律。结论：若a是关于运算*的幂等元，则对于任意正整数n，an=a.代数运算的性质—等幂律设*和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a，b，c∈S,a*（b+c）=（a*b）+（a*c），（b+c）*a=（b*a）+（c*a）都成立，则称运算*对+满足分配律。
6、（Note:*未必满足交换律，所以一个等式成立，另一个未必成立）代数运算的性质—分配律例.设A={，}，二元运算*,+定义如下:问分配律成立否？*+① 证明：x+(y*z)=(x+y)*(x+z)证：当x=：x+(y*z)=;(x+y)*(x+z)=当x=：x+(y*z)=y*z;(x+y)*(x+z)=y*z②运算*对运算+不可分配证：∵*（+）=*=（*）+（*）=+=设*和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a,b∈S,a*(a+b
7、)=a，a+(a*b)=a，都成立，则称运算*和+满足吸收律。例.定义自然数集合N上的运算*和+如下：对于任意a，b∈N，有a*b=max{a,b},a+b=min{a,b}，则*和+是N上的二元代数运算，且满足吸收律a*（a+b）=max{a,min{a,b}}=a,a+（a*b）=min{a,max{a,b}}=a.代数运算的性质—吸收律设*是集合S上的二元代数运算，如果S中存在元素，使得对于S中任意元素a，都有a*=，*a=，则称是S上关于运算*的零元。设*是集合S上的二元代数运算，对于S中任意三
8、个元素a，b，c，其中a不等于零元，如果有（1）若a*b=a*c，则b=c，（2）若b*a=c*a，则b=c，就称*满足消去律。代数运算的性质—消去律例.n阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律.因为但例.整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；它们都不满足等
