离散数学 代数系统

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1、代数结构(代数系统)本章将研究一类特殊的数学结构---由集合上定义若干个运算而组成的系统---代数系统。代数结构(系统)的概念一.n元运算例子：取相反数运算“-”、集合的补运算“-”以及N上的“+”II-0。1。2。-1。-2。......。0。-1。-2。1。2......P(E)P(E)-{a}。{b}。{a,b}。Φ。。{a}。{b}。{a,b}。ΦN2N+<0,0>。<0,1>。<0,2>。<1,0>。<1,1>。.........。0。1。2。3<1,2>。1.定义：设X是个集合，f:XnX是

2、个映射，则称f是X上的n元运算。f:XX是个一元运算。f:X2X是个二元运算。思考题：下面说法是否正确？减法－是N上的二元运算。除法÷是整数I上的二元运算。除法÷是实数R上的二元运算。主要讨论二元运算。通常用、、、、、、+等表示抽象的二元运算。如果用“”表示二元运算f时，通常将f()=z写成xy=z。2.二元运算的运算表可用一个表来表示二元运算的运算规律。例如令E={a,b}P(E)上的∩运算表如图所示。如令X={S,R,A,L}其中S表示开始时的位置；R表示“向右转”；A表

3、示“向后转”；L表示“向左转”；“”表示转动的复合运算；其运算表如图所示。SRALSSRALRRALSAALSRLLSRA∩ΦΦ{a}{a}{a}{a}{a}{b}{b}{b}{b}{b}{a,b}{a,b}{a,b}ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ上表头元素左表头元素运算二.代数系统的概念1.代数系统的定义：X是非空集合，f1,f2,…,fm分别是X上k1,k2,…,km元运算,ki为整数，称集合X和运算f1,f2,…,fm所构成的系统为一个代数系统U（或一个代数结构）,简称一个代数，记作U=

4、,fm>(m≥1)。2.有限代数系统：U=是个代数系统，如果X是个有限集合，则称U是个有限代数系统。3.同类型代数系统：给定两个代数系统U=，V=如对应的运算fi和gi的元数相同(i=1,2,3,…,m),则称U与V是同类型代数系统。一.交换性定义：设是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有xy=yx,则称是可交换的。例：对任意的a,b∈N,定义ab=ab则不满足交换性。例：设Q为有理数集合，是Q上的二元运算，对

5、任意的a,b∈Q,定义ab=a+b-ab问：是否可交换。从运算表看交换性：是个以主对角线为对称的表。∩ΦΦ{a}{a}{a}{a}{a}{b}{b}{b}{b}{b}{a,b}{a,b}{a,b}ΦΦΦΦΦΦΦΦΦSRALSSRALRRALSAALSRLLSRA二.等幂元、等幂性定义：设是X上的二元运算，如果存在a∈X，使得aa=a,则称a是等幂元；如果对任何x∈X,都有xx=x,则称有等幂性。例：N上定义的加法+是否具有等幂性？从运算表看等幂元、等幂性：看主对角线的元素与上表头(或左表头)

6、元素相同。∩ΦΦ{a}{a}{a}{a}{a}{b}{b}{b}{b}{b}{a,b}{a,b}{a,b}ΦΦΦΦΦΦΦΦΦSRALSSRALRRALSAALSRLLSRA三.单位元（幺元、恒等元）定义：设是X上的二元运算，如果存在eL∈X，使得对任何x∈X，有eLx=x，则称eL是相对的左单位元。如果存在eR∈X，使得对任何x∈X，有xeR=x，则称eR是相对的右单位元。如果eL=eR=e，对任何x∈X，有ex=xe=x,称e是相对的单位元。例：,单位元是：，单位元

7、是：，单位元是：，单位元是：,单位元是：,单位元是：例：A={a,b,c,d}，在A上定义两个运算如下所示，试指出左、右单位元。A中关于的左单位元为：A中关于的右单位元为：A中关于的左单位元为：A中关于的右单位元为：abcdadabcbabcdcabccdabcdabcdaabdcbbacdccdabdddbc从运算表找左单位元eL：eL所在行的各元素均与上表头元素相同。从运算表找右单位元eR：eR所在列的各元素均与左表头元素相同。SRA

8、LSSRALRRALSAALSRLLSRAeLeR定理1.设是X上的二元运算，如果有左单位元eL∈X，也有右单位元eR∈X，则eL=eR=e，且单位元e是唯一的。证明：因为eL是左单位元，又eR∈X，所以eLeR=eR因为eR是右单位元，又eL∈X，所以eLeR=eL于是eL=eR=e。假设有两个单位元e1、e2，因为e1是单位元，又e2∈X，所以e1e2=e2因为e2是单位元，又e1∈X，所以e1e2=e1则e1