第五课时 解三角形应用举例（一）

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1、第五课时解三角形应用举例（一）教学目标：会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定.教学过程：Ⅰ.课题导入解三角形的知识在测量、航海、几何

2、、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.Ⅱ.讲授新课［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40m，计算BC的长（保留三个有效数字）.分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40m，AB＝1．95m

3、，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′.相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理.解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571∴BC≈1．89　（m）答：油泵顶杆BC约长1．89m.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10

4、nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9nmile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21nmile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.-4-解：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh，则AB＝21xnmile，BC＝9xnmile，AC＝10nmile，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°根据余弦定理，可得AB2＝AC2

5、＋BC2－2AC·BC·cos120°得（21x）2＝102＋（9x）2－2×10×9xcos120°，即36x2－9x2×10＝0解得x1＝，x2＝－（舍去）∴AB＝21x＝14，BC＝9x＝6再由余弦定理可得：cosBAC＝＝＝0．9286，∴∠BAC＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′.而舰艇方位角为66°47′，小时即40分钟.答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟.评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）.在利用余弦定理建立方程求出x后，所求舰艇方位角就转化为一个已知

6、三边求角的问题，故仍然利用余弦定理.从上述两个例题，大家可以看出，实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.在下面的例题分析中，我们继续加以体会.［例3］如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里.∵BC2＝

7、AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝（－1）2＋22－2（－1）·2cos120°＝6∴BC＝∵＝∴sinABC＝＝＝∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°∵＝∴sin∠BCD＝＝＝，-4-∴∠BCD＝30°，∴∠DCE＝90°－30°＝60°由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°∴BD＝BC，即10t＝∴t＝（小时）≈15（分钟）答