171 勾股定理(一)

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1、17.1勾股定理(一)一、教学目的1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。二、重点、难点1.重点:勾股定理的内容及证明。2.难点:勾股定理的证明。三、例题的意图分析例1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性;通过拼图,发散学生的思维,锻炼学生的动手实践能力;这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,

2、面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是

3、说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗?五、例习题分析例1(补充)已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证:a2+b2=c2。分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S△

4、+S小正=S大正4×ab+(b-a)2=c2,化简可证。⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。⑷勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证:a2+b2=c2。分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。左边S=4×ab+c2右边S=(a+b)2左边和右边面积相等,即4×ab+c2=(a+b)2化简可证。六、课堂练习1.勾股定理的具体内容是:。2.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何

5、语言表示)⑴两锐角之间的关系:;⑵若D为斜边中点,则斜边中线;⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:;⑷三边之间的关系:。3.△ABC的三边a、b、c,若满足b2=a2+c2,则=90°;若满足b2>c2+a2,则∠B是角;若满足b2<c2+a2,则∠B是角。4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。七、课后练习1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则⑴c=。(已知a、b,求c)⑵a=。(已知b、c,求a)⑶b=。(已知a、c,求b)2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c

6、的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。3、4、532+42=525、12、1352+122=1327、24、2572+242=2529、40、4192+402=412…………19,b、c192+b2=c23.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动,问当P点移动多少秒时,PA与腰垂直。4.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。求证:⑴AD2-AB2=BD·CD⑵若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。八、参考答案课堂练习1.略;2.⑴∠A+∠B=90°;⑵CD=AB;⑶AC=AB;⑷AC2+BC2=

7、AB2。3.∠B,钝角,锐角;4.提示:因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA,又因为S梯形ACDG=(a+b)2,S△BCE=S△EDA=ab,S△ABE=c2,(a+b)2=2×ab+c2。课后练习1.⑴c=;⑵a=;⑶b=2.;则b=,c=;当a=19时,b=180,c=181。3.5秒或10秒。4.提示:过A作AE⊥BC于E。课后反思:

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