第11讲 反比例函数

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1、第11讲反比例函数◆考点链接1．正比例、反比例函数的概念、图象、性质．2．会用待定系数法求正、反比例函数的解析式．3．数形结合，运用正、反比例函数的相关知识解决有关实际问题．◆典例精析【例题1】填空题：1．设y=（2n+1）x．（1）当n=______时，y是x的正比例函数，且图象经过一、三象限；（2）当n=______时，y是x的反比例函数，且在每个象限内y随x的减小而减小．2．若y=y1－y2，y1与x－1成正比例，y2与x－2成反比例，并且当x=1时，y=2；当x=3时，y=4．则y与x的函数关系式是______．3．正比

2、例函数y=kx和反比例函数y=－．（1）若两函数的图象交于M、N两点，且M点的横坐标为－2，则两交点坐标为______．（2）过M作MA⊥x轴，垂足为A，则S△AOM=_______．（3）若两函数的图象无交点，则k的取值范围是______．解题思路：此题主要考查正、反比例函数的概念、图象及性质，两个函数交点坐标的求法．过反比例函数y=图象上的一点A作AB⊥x轴（或y轴）于B，则S△AOB=│k│．解：1．（1）n=1（2）n=－1；2．y=3x－3－；3．（1）M（－2，3），N（2，－3），（2）S△AOM=3（3）k>0．

3、评析：（1）反比例函数y=中，k>0时，图象的两支分布在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；k<0时，图象的两支分布在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．（2）反比例函数y=kx中，k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．（3）双曲线y=上任一点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，则S△AOB=│k│，S矩形OBAC=│k│．（4）一次函数y=kx+b与反比例函数y=消去y后，关于x的一元二次方程的判别式△：当△>0时，两函数图象有两个交点；当△=0时，两函数图

4、象只有一个交点；当△<0时，两函数图象无交点．【例题2】如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=－的图象相交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．解：（1）设点A（－2，y），点B（x，－2），且点A，B在双曲线y=－上，即可得点A（－2，4），B（4，－2）．故一次函数的解析式为：y=－x+2．（2）设直线y=－x+2与x轴交于点M，点M坐标为（2，0），则S△AOB=S△AOM+S△BOM=×2×4+×2×│－2│=6．【例题3】如图所示，双曲线

5、y=（x>0）与经过点A（1，0），B（0，1）的直线交于P，Q两点，连接OP，OQ．（1）求证：△OAQ≌△OBP；（2）若点C是OA上不与O，A重合的任意一点，CA=a（0

6、（1－a）2=AC2=a2．解：（1）过A（1，0），B（0，1）的直线解析式为y=－x+1，解方程组得P，Q两点的坐标为P（，），Q（，），则BP=AQ=，∵OA=OB=1，∠ABO=∠OAB=45°．∴△BOP≌△AOQ．（2）①△ADC是等腰直角三角形，AC=a，作DF⊥AC，∴DF=a，OC=1－a，EO=DF=a．∵CE=AC，∴CE2=AC2，∴（a）2+（1－a）2=a2，∴a2－8a+4=0，∵0

7、：反比例函数y=的图象关于原点对称，关于直线y=x对称，也关于直线y=－x对称．如果反比例函数y=与y=中，k1=－k2≠0，那么这两条双曲线关于原点、x轴、y轴对称．◆探究实践【问题】如图，已知直线AB交两坐标于A、B两点，且OA=OB=1，点P（a、b）是双曲线y=上在第一象内的点过点P作PM⊥x轴于M、PN⊥y轴于N．两垂线与直线AB交于E、F．（1）分别写出点E、F的坐标（分别用a或b表示）；（2）求△OEF的面积（结果用a、b表示）；（3）△AOF与△BOE是否相似？请说明理由；（4）当P在双曲线y=上移动时，△OEF

8、随之变动，观察变化过程，△OEF三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．解题思路：△AOB是大小确定的等腰Rt△，虽然点P在双曲线上移动，但四边形PNOM始终是矩形，且ab=，这对于解决（3）（4）两个探索性问题起着十分重要的作用．