倍角与半角公式

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1、倍角和半角公式田云江　　[基本要求]　掌握倍、半角公式，并能熟练地正用、逆用和变用。[知识要点]　1、二倍角公式　在Sα+β，Cα+β，Tα+β中含α=β得到：　S2α：　sin2α=2sinαcosα　C2α：　cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α　T2α:　tg2α=　说明：①在运用二倍角公式时，要注意不仅限于2α是α的二倍的形式，还有如4α是2α的二倍，3α是的二倍，α+β是的二倍等。　②由二倍角公式可以推出如下变形公式：(1)降幂公式：sinαcosα=,sin2α=

2、,cos2α=,如需讨论函数性质如求函数的值域、最值、单调区间，周期、画图等，一般利用降幂公式化函数为y=Asin(ωx+φ）+B或Acos(ωx+φ)+B形式，(2)升幂化积公式：1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2如遇开方，用此公式较方便，(3)cosα=,如求coscos的值，求cos20°cos40°cos60°的值等用此公式就非常简便。　2、三倍角公式：sin3α=3sinα-3sin3α,cos3α=4cos3α-3cosα　3、半角公式：　:sin=±　:cos=±　:tg=±　,

3、:tg==　对于半角公式，必须明确，“半角”是相对而言，不能认为才是半角如2α是4α的半角，α是3α的半角，反之，5α分别是，的倍角，因此二倍角公式与半角公式是互逆的。　　　对于半角公式中根号前的双重符号，它取决于所在的象限，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号；若α属于某一给定区间，则先求出的所在范围，然后根据所在范围选用符号。　因无“土”号和根式　　　∴在化简证明中更常用　4、万能公式　sinα=　cosα=　tgα=　说明：①从左到右，α范围变小　　　　②右端周期均为2π　5、合一变形　①as

4、inx+bcosx=(sinx+cosx）　=(sinxcosφ+cosxsinφ)　=sin(x+φ)其中φ由sinφ=　　　　　　　确定或由tgφ=及点(a,b)所在象限（即角φ所在象限）确定cosφ=　　　　②asinx+bcosx=(sinx+cosx)　=(sinxsinφ+cosxcosφ)　=cos(x-φ)其中φ由{sinφ=确定或由tgφ=及点(b,a)所在象限（即角φ所在象限）确定cosφ=　[例题选讲]　1、已知α是第三象限的角，sin4α+cos4α=,求sni2α,cos2α,tg2

5、α的值　解：∵(2k+1)π＜α＜2kπ+　(k∈z)　∴4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π　　　(k∈z)　又∵sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α　∴1-sin22α=　　∴sin22α=　　∴sin2α=　∴cos2α=　∴tg2α=　2、求sin10°sin50°sin70°的值　解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=cos40°cos80°=cos80°==　3、求函数y=cos4x-sin4x的最小正周期　　　解：y=

6、cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x　∴周期T=π　4、求值　①已知sin-cos=-,450°＜θ＜540°求tg的值　　　②已知7cos2α+5sin2α=5求tgα的值　③已知=求cosθ的值　④已知=-5求3cos2θ+4sin2θ的值　解①：∵sin-cos=-两边平方　∴1-2sincos=　∴sinθ=　∵450°＜θ＜540°　∴cosθ=-=-　∴tg==　又112.5°＜＜135°　∴tg==　又tg＜0　∴tg=　②由万能公式及已知有　

7、7×+5×=5　即7-7tg2α+10tgα=5+5tg2α　即6tg2α-5tgα-1=0　∴tgα=-或1　③ctg=====(等比定理)　∴tg=2　∴cosθ==-　④解由万能公式：　3cos2θ+4sin2θ=+　又==-5　∴tgθ=2　∴3cos2θ+sin2θ==　5、若tg2α=2tg2β+1　求证cos2α+sin2β=0　　证明：∵tg2α=2tg2β+1　∴1+tg2α=2(1+tg2β)　∴sec2α=2sec2β　　　∴=　∴cos2β=2cos2α　∴1-cos2β=1-2cos

8、2α　∴sin2β=-cos2α　∴cos2α+sin2β=0[自我检测]　1、如果函数y=sinωxcosωx的最小正周期是4π,那么正实数ω的值等于（　　）　A、4　　　B、2　　　C、　　　D、　2、的值是（　　）　A、sin2　　　B、-cos2　　　C、cos2　　　D、-cos2　3、已知sin=　　cos=-则角α在第（　）象限　A、一　　　B、二　　　C、三　　　D、四　4、若＜α＜