高考数学专题复习讲练测——专题八 直线及二次曲线 专题复习讲练 2 轨迹

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1、§2轨迹　　一、复习要点　在第一轮的复习中，同学们已经初步掌握了求轨迹的一些基本方法，但比较零散．本节我们将系统地研究求轨迹的基本方法，使同学们能根据曲线上点的性质，选择恰当的方法求出轨迹方程．　1本节的主要内容是求轨迹方程的几种基本方法——直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法．其重点是直译法、动点转移法和参数法；难点是坐标系的选择、参数法中参数的选择及轨迹方程所表示曲线的“完备性”和“纯粹性”．　2轨迹问题是解析几何研究的主要内容之一，因而也成为高考命题的热点．1999年以此作为压轴题．　3

2、在本节复习中，应理解和掌握如下求轨迹方程的五种基本方法：（1）直译法若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成动点的坐标ｘ、ｙ（或ρ、θ）的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程．其一般步骤为：建系—设点—列式—代换、化简—检验．　　（2）定义法当动点满足的条件符合某种特殊曲线的定义时，则可根据这种曲线的定义建立方程．　　（3）待定系数法当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程．　　（

3、4）动点转移法即就是当动点P（x,y）或P（ρ，θ）随着另一动点Q（ｘ１，ｙ１）或Ｑ（ρ１，θ１）的运动而运动，而动点Q在某已知曲线上，若Q点的坐标可用点P的坐标表示，则可代入动点Q所在已知曲线的方程中，求得动点P的轨迹方程．求对称曲线方程也常用此法．　　（5）参数法当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量ｔ，并用t表示动点的坐标ｘ、ｙ，从而得动点轨迹的参数方程ｘ＝ｆ（ｔ），ｙ＝ｇ（ｔ），消去参数ｔ，便可得动点P的轨迹的普通方程．应注意方程的等价性，即由t的范围确定出x、y的范围．

4、　　二、例题讲解　　例1　椭圆的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，Ａ１、Ａ２分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任一点，引Ａ１Ｑ⊥Ａ１Ｐ，Ａ２Ｑ⊥Ａ２Ｐ.　　设Ａ１Ｑ与Ａ２Ｑ相交于点Q，求Q点的轨迹方程．　　讲解：因Q点随P点的运动而运动，而P点在已知椭圆上，故可用动点转移法求解．　　思路1．设Ｑ（ｘ，ｙ）、Ｐ（ｘ１，ｙ１），如图8-4，A１的坐标为（－ａ，0），Ａ２的坐标为（ａ，0）．图8-4　　∵点P（ｘ１，ｙ１）在椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1上，　　∴　（ｘ１２／ａ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1．　

5、　　①　　欲求Q点的轨迹方程，只须将点P的坐标用点Q的坐标表示．为此，　　须寻求ｘ１、ｙ１与ｘ、ｙ之间的关系．　　∵Ａ１Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ１＋ａ）／ｙ１（ｘ＋ａ），　　　②　　Ａ２Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ１－ａ）／ｙ１（ｘ－ａ），　　　③　　即ｙ１ｙ＝－ｘ１ｘ－ａｘ－ａｘ１－ａ２，　　　④　　ｙ１ｙ＝－ｘ１ｘ＋ａｘ＋ａｘ１－ａ２，　　　⑤　　联立④⑤，解得　ｘ１＝－ｘ．　　　⑥　　由①得ｘ１２＝ａ２（1－（ｙ１２／ｂ２））．　　　　　⑦　　将④⑤代入Ａ１Ｑ的方程，得　　ｙ＝（ｘ１２－ａ２）／ｙ１＝（－（ａ２／ｂ２）ｙ

6、１２）／ｙ１＝－（ａ２／ｂ２）ｙ１.　　∴　ｙ１＝－（ｂ２／ａ２）ｙ．　　　⑧　　将⑥⑧代入①，并整理，得　　（ｘ２／ａ２）＋（ｂ２ｙ２）／ａ４＝1．　　这就是Q点的轨迹方程．　　以上是将两个参数ｘ１、ｙ１逐一消去，实际上还可整体消参.②×③，得　　ｙ２＝（（ｘ１２－ａ２）／ｙ１２）（ｘ２－ａ２）．　　把ｙ１２＝（ｂ２／ａ２）（ａ２－ｘ１２）代入便可将参数一次消去．　　思路2．因动点Q的位置由动点P的位置确定，而动点P的位置与其对应的离心角有关，故可选点P的离心角θ为参数，建立点θ的轨迹的参数方程．　　设点P的坐标为

7、（Ａｃｏｓθ，Ｂｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｘ，ｙ），则　　直线Ａ１Ｑ的方程为　　ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ＋1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ＋ａ），　　　①　　直线Ａ２Ｑ的方程为　　ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ－1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ－ａ）.　　　②　　①×②，消去θ，得　　ｙ２＝（ａ２（ｃｏｓ２θ－1）／（ｂ２ｓｉｎ２θ）（ｘ２－ａ２）　　＝－（ａ２／ｂ２）（ｘ２－ａ２），　　即（ｘ２／ａ２）＋（ｂ２ｙ２）／ａ４＝1．　　这就是所求Q点的轨迹方程．　　思路2用参数法求Q点的轨迹方程，　　在消参数时，整体处理，化繁为简，请同学们注意这种整

8、体消参的思想．　　例2　如图8-5，给出定点A（a,0）（a＞0）和直线l:x=-1,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示曲线类型与a值的关系．图8-5　　讲解：思路1动点C的运动受两个条件的限制：一是随点B在l上的运动而运动，二是要满足∠AOC=∠COB.条件较多，坐标之间的关系