高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题复习讲练 2 复数的应用

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1、§2　复数的应用　　一、复习要点 复数的三角形式、复数及其运算的几何意义是数形结合的桥梁，是应用复数知识解题的主要结合点．在系统复习的基础上，本轮复习应把握以下几点：　　1．《考试说明》对复数的应用没有提出特别要求，复习时只介绍一些简单应用，切忌随意拔高．　　2．使学生在思想上明确：　　（1）应用复数可以证明三角恒等式，求反三角函数的和；　　（2）应用复数可以证明不等式；　　（3）应用复数可以解决解析几何问题；　　（4）应用复数可以证明平面几何问题．　　3．熟练掌握并应用复平面内的：　　（1）两点间的距离公式；　　（2）过原点的射线

2、、直线方程；　　（3）线段垂直平分线的方程；　　（4）圆的方程；　　（5）椭圆的方程．　　4．本节复习的重点应放在复数运算的几何意义及复数与三角、复数与几何的简单综合问题上．　　二、例题讲解　　例1　（1）已知复数ｚ１＝3－ｉ，｜ｚ２｜＝2，则｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值是（　　）．　　Ａ．－2　　Ｂ．5　　Ｃ．2＋　　Ｄ．2＋2　　（2）已知复数ｚ满足｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜且ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝π／4，则ｚ等于________．　　讲解：（1）本题的条件容易使我们联想到复数及运算的几何意义，首选数形结合的方法来解答．　　在复平面中，方程｜ｚ２

3、｜＝2的图形是以原点为圆心、半径为2的圆，而｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ２－（－ｚ１）｜表示ｚ２与－ｚ１所对应的两点P２与Ｐ１间的距离，即线段Ｐ１Ｐ２的长，如图6-1所示．显然当Ｐ１Ｐ２经过原点时，线段Ｐ１Ｐ２最长，其值为2＋．∴　选Ｃ．图6-1　　本题亦可选用代数方法解答，把ｚ２用三角式表示后，则关于复数模的条件最值问题便转化为三角函数的无条件最值问题．运用三角恒等变形方法和弦函数的值域性质即得结论．简解如下：　　设ｚ２＝2（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（0≤θ＜2π），则　　｜ｚ１＋ｚ２｜２＝｜2ｃｏｓθ＋3＋ｉ（2ｓｉｎθ＋1）｜２　　＝（2

4、ｃｏｓθ＋3）２＋（2ｓｉｎθ＋1）２　　＝14＋4ｓｉｎ（θ＋φ）　　≤14＋4＝（1＋）２．　　当ｓｉｎ（θ＋φ）＝1时，等号成立．　　∴　｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值为2＋，选Ｃ．图6-2　　（2）显然用数形结合方法解答最为适宜．方程｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜的图形是复平面中以实数1和3所对应的点为端点的线段的垂直平分线；而方程ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝（π／4）的图形，是复平面中以复数ｉ所对应的点为端点，倾斜角为（π／4）的射线，如图6-2所示．故射线与垂直平分线的交点所对应的复数即为所求，即ｚ＝2＋3ｉ．　　例2已知复数ｚ１＝ｃｏｓα＋ｉｓｉ

5、ｎα，ｚ２＝ｋ（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），ｚ３＝（2－ｋ）（ｃｏｓγ＋ｉｓｉｎγ），且满足ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0．问ｋ为何值时，ｃｏｓ（β－γ）分别取最大值、最小值（0＜ｋ＜2）．　　讲解：本例是复数与三角关系的问题，利用虚实转化思想，由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，应用复数相等的充要条件，可转化为三角条件最值问题．则有　　解法1．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得ｃｏｓα＋ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝0，ｓｉｎα＋ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝0ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝－ｃｏｓα，①ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα．②　　①２＋②

6、２，得ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ２－4ｋ＋3／2ｋ（ｋ－2））＝1＋[3／2ｋ（ｋ－2）]．　　若注意到复数的性质，可以考虑利用整体思想求解，则有　　解法2．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，　　两边平方，得｜ｚ２＋ｚ３｜２＝｜ｚ１｜２，∴　（ｚ２＋ｚ３）（２＋３）＝1，即｜ｚ２｜２＋｜ｚ３｜２＋ｚ２３＋２ｚ３＝1．　注意到ｚ２３＋２ｚ３＝2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜ｃｏｓ（β－γ），则ｋ２＋（2－ｋ）２＋2ｋ（2－k）ｃｏｓ（β－γ）＝1．　　∴　ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ２－4ｋ＋3）／（2ｋ２－4ｋ）．

7、若注意到复数及其运算的几何意义，则可以考虑利用数形结合的思想求解，从而有　　解法3．∵　｜ｚ２－ｚ３｜２＝2（｜ｚ２｜２＋｜ｚ３｜２）－｜ｚ２＋ｚ３｜２＝2（｜ｚ２｜２＋｜ｚ３｜２）－｜ｚ１｜２，　而且注意到复平面内的余弦定理：　　ｃｏｓ（β－γ）＝（｜ｚ２｜２＋｜ｚ３｜２－｜ｚ２－ｚ３｜２／2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜），　∴　ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ２－4ｋ＋3）／（2ｋ２－4ｋ）．　上面三种不同的解法是在三种不同的基本思想启迪下得到的．这正是灵活运用基本数学思想的具体体现，应予足够重视．　　下面完成此题的解答．　令　ｙ＝ｆ（ｋ）

8、＝1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝1－（3／2ｋ（2－ｋ））（0＜ｋ＜2）≤1－（3／2·（（ｋ＋2－ｋ／2））２）＝－（1／2）．　　∵　｜ｃｏｓ（β－γ）｜≤1，∴　－1≤ｙ≤－（1／2）．由ｙｍａｘ