高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 1 坐标法

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1、§1　坐标法　　一、复习要点　　1本节的主要内容是用坐标法研究几何问题的思想和方法．包括由曲线方程研究曲线的性质（如曲线的图形、对称性、范围等）和由给定条件求曲线方程两个基本问题．其中，由给定条件选择适当的坐标系求出曲线的方程是本节的重点，同时也是难点．　　2最新《考试说明》中仍要求：“能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线”．“了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法．”这里既有“思想”又有“方法”，因而本节内容成为高考考查的热点．　　3在本节的复习中，一要进一步深刻理解曲线与方程的概念；二要熟练掌握求曲线（轨迹）方程

2、的方法和一般步骤．在求曲线方程中，要重视建立坐标系这一关键环节，从中体会“适当”二字的含意，即所选择的坐标系应尽量使点的坐标简单，使图形相对于坐标轴具有对称性，这样便于方程的化简．求曲线方程的第（5）步可以省略不写，但仍需验证其轨迹的纯粹性和完备性．　二、例题讲解　　例1　设曲线C的方程是y=x３-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．　　（1）写出曲线C１的方程；　　（2）证明曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称；　　（3）如果曲线C与C１有且仅有一个公共点，证明s=（t３／4）-t，且t≠0.　　讲解：（1）思路1利用函数图象平移法，得C

3、１的方程y=（x-t）３-（x-t）+s．　　思路2可看作曲线不动，坐标轴平移.将原点移至O′（-t,-s）,得平移公式x=x′-t，代入C的方程，得y′-s=（x′-t）３-（x′-t）,即y=（x-t）３-（x-t）+s．y=y′-s，　　（2）欲证曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称，须证：①C上任一点关于A的对称点在C１上；②C１上任一点关于A的对称点在C上．　　简证：在曲线C上任取一点P１（x１,y１）,设P１关于A的对称点为P２（x２,y２），则有（x１+x２）／2=（t／2）,（y１+y２）／2=（s／2）,故x１=t-x２,y１=s-y２.代入C的方程，得

4、y２=（x２-t）３-（x２-t）+s,可知点P２（x２,y２）在曲线C１上．　　反过来，同样可证曲线C上关于A的对称点都在曲线C１上，因此C与C１关于点A对称.　　（3）根据曲线C与C１有且仅有一个公共点，可知方程组y=x３-x，y=（x-t）３-（x-t）+s　　有且仅有一个解，转化为研究方程组解的问题.消去y，整理，得　　3tx２-3t２x+（t３-t-s）=0，　　若t=0,s=0,则方程有无数个解；　　若t=0,s≠0，则方程无解；　　若t≠0,则必有　　Δ=9t４-12t（t３-t-s）=0.　　∴s=（t３／4）-t，且t≠0．　　从本例的解答中，同学们可以体会到，研究曲

5、线的性质可转化为研究曲线的方程（组）的解，这是解析几何的重要思想方法之一.　　另外，利用现有的知识、思想和方法研究未知的较复杂问题（三次曲线），这体现了高考对学生创新能力的朴素要求和关注!　　例2　如图8-1，直线ｌ１和ｌ２相交于M，ｌ１⊥ｌ２，点N∈ｌ１，以A、B为端点的曲线C上任一点到直线ｌ２的距离与到点N的距离相等.若△ＡＭＮ为锐角三角形，｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，且｜ＢＮ｜＝6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．图8-1　　讲解：据题设条件及抛物线的定义可知曲线段C是抛物线的一部分．要求曲线段C的方程，首先要考虑建立适当的坐标系．因为ｌ１、ｌ２为定直线，M、N均为定点，故可取ｌ１

6、为x轴，原点可选在点M，也可选在点N，究竟选在何处?据题设条件知点N为曲线段C所在抛物线的焦点，ｌ２为准线，若将原点选在M或N点时，抛物线的顶点都不在坐标原点，抛物线的方程就不是标准形式，这就不符合选择坐标系的基本要求——尽量使方程简单．考虑到抛物线的顶点在线段MN的中点O处，故应选取MN的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系．则曲线段C所在抛物线的方程便可设为　　ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0，ｙ＞0），对于曲线段C，则有ｘＡ≤ｘ≤ｘＢ.　　问题转化为求参数ｐ的值及确定A、B两点的横坐标ｘＡ、ｘＢ的值．　　思路1．∵　｜ＭＮ｜＝ｐ，∴　Ｍ（－（ｐ／2），0），　　Ｎ（（ｐ／2），0）．　　由｜ＡＭ

7、｜＝，｜ＡＮ｜＝3，得（ｘＡ＋（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝17，　　　　　　①（ｘＡ－（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝9．　　　　　　②　　由①、②解得ｘＡ＝（4／ｐ）．　　再代入①，并注意到ｐ＞0可解得ｐ＝4，ｐ＝2，ｘＡ＝1，ｘＡ＝2．　　因△ＡＭＮ是锐角三角形，所以（ｐ／2）＞ｘＡ，故舍去ｐ＝2，ｘＡ＝2．　　∴　ｐ＝4，ｘＡ＝1．由点B在曲线C上，得ｘＢ＝｜ＢＮ｜－（ｐ／2）＝6－（ｐ／2）＝4．　　故曲线段C的方程