最速降线问题

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1、理论力学教学研究论文，谢建华，2008.01.28最速降线问题解的充分性是如何证明的？谢建华(西南交通大学应用力学与工程系，成都，610031)摘要：本文利用可动边界的变分公式,通过广义环路积分统一表示变分法中的若干基本原理,如Hilbert不变积分和包络定理等，在此基础上说明了最速降线问题解的充分性。关键词：最速降线；旋轮线；变分法；充分性；力学史Howtoprovethesufficientconditionforthebrachistochroneproblem?XieJianhua(DepartmentofAppliedMechanicsan

2、dEngineering,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu,610031,China)Abstract:Thepaperusesthevariationformulaformovingboundariesandunifiesseveralbasicprinciplesinthecalculusofvariations,suchasHilbert’sinvariantintegralandenvelopetheorem,etc.,bymeansoftheintegralonclosedpathofspecialty

3、pe,thenprovesthesufficientconditionforbrachistochroneproblem.KeyWords:brachistochroneproblem;cycloid;calculusofvariations;sufficientcondition;historyofmechanics早在1696年，JohnBernoulli(1667-1748)曾提出这样一个问题：在竖直平面上将给定两点和用一条光滑的金属线相连(图1)，一质量为质点以初速度由点沿金属线滑动，问金属线为何种形状时，质点到达点所需的时间最少？这就是历史

4、上著名的最速降线问题(brachistochroneproblem)。JohnBernoulli在提问的同时，警告人们不要凭直觉认为金属线是连接点和点的直线。实际上在此之前Galileo(1564-1642)曾研究过类似问题，并错误地认为应该是一段圆弧，因为圆弧开始较陡，就获得较大的速度，走完全程的时间也就最少。最速降线问题吸引了很多著名数学家的关注，图1最速降线问题*国家自然科学基金资助项目(10772151)8理论力学教学研究论文，谢建华，2008.01.28Newton(1642-1727)、Leibniz(1646-1716)、l’Hospi

5、tal(1661-1704)以及Bernoulli兄弟几乎同时给出了正确的结果。JohnBernoulli本人利用此问题与光线在媒质中传播的类似性，非常巧妙地得到了正确的答案：连接点和点的旋轮线(cycloid)。其兄JamesBernoulli(1654-1705)提出的几何方法适用范围要广泛的多。Euler(1707-1783)在JamesBernoulli方法的基础上，建立了所谓Euler方程。在变分法的初创时期，象最速降线这类问题什么是完整解答往往是含糊不清的。后来Legendre(1752-1833)、Jacobi(1804-1851)和W

6、eierstrass(1815-1897)等人进一步研究了变分问题的必要性和充分性，建立了一些基本原理，如Legendre条件、包络线定理和Weierstrass判别法等等，为变分法进一步发展奠定了坚实的基础。最速降线问题的研究在力学史上是非常重要的，大部分力学或物理教材都将其作为一个经典范例加以介绍的，但是最速降线问题的完整解答，特是其中充分性的证明需要较多的预备知识，故教科书一般仅限于介绍最速降线解的必要条件。本文说明，利用可动边界的变分公式,通过广义环路积分统一表示变分法中的一些基本原理,如Hilbert不变积分和包络定理等等，在此基础可用较少

7、篇幅说明最速降线问题解的充分性。另外还介绍如何用几何方法，证明有仅有一条旋轮线通过平面上任意两个给定的点。这样就对最速降线问题的必要性、存在性和唯一性，以及充分性给了较全面的介绍。1.问题的描述设连接点和点的曲线具有形式，质点在点的初速度为，由动能定理(1)由(1)(2)其中(如果从点向上正或斜抛质点，为其能达到的坐标的最小值)。由，及，然后通过积分获得质点由点沿曲线到达点所需时间(3)最速降线问题的完整研究应该回答如下三个问题：(i)最速降线问题的解必须满足什么样的条件，即极值曲线必须是哪类曲线？(ii)在满足必要条件的极值曲线簇中是否包含仅包含唯

8、一一条极值曲线过点和点？(iii)在问题(i)和(ii)得到肯定回答后，证明过点和点的极值曲线确为最速降线问