最短路线和最速降线.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最短路线和最速降线1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一、最短路线1．问题设一辆汽车停止于A处并垂直于AB方向，此汽车可转弯的最小圆半径为R,求不倒车时由A移到B的最短路线。（1）讨论AB2R的情形。（2）简单讨论AB2R的情形。2．假设将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。3．建模（1）讨论AB2R的情形。以AB为Y轴正向，作一半径为R的圆与X轴切于A点，问题就是要找一条最短曲线连结AB

2、，在A点切于X轴正向，且任一点的曲率半径不小于R。直观上不难猜测出最短路径。从B点向圆做切线BC，那么由A点沿圆弧AC移到C点，再沿直线移到B点，这就是最短路径（如图1所示）。为了证明这一事实，作一条直线l通过圆的中心O和C点。假设汽车沿某一条曲线1由A点移到B点，因A、B分别在直线l两侧，1与l必有一交点C1,1被分成弧AC1和弧BC1两段。因BC与l垂直，弧BC1的长度必不小于线段BC的长度（当且仅当弧BC1与线段BC重合时才可能相等）。设弧AC1的参数方程为xx(s),yy(s),x(0)0,y(0)0图1其中s为弧长。在点(x(s),y(s))

3、处，曲线的切线与X轴的夹角记为，依条件有d1dsR当s0时，0，故ss1Rdsd1Rds,000从而sR。研究曲线上的点与直线l的距离（在l的右边为正）J(s)x(s)cos(y(s)R)sin,BOC因为dxdycos,sindsds2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯故ssx(s)cos(t)dt,y(s)sin(t)dt00因此ssJ(s)coscos(t)dtsin(sin(dt)R)00scos((t))dtRsin0tt当t0时，有(t)tR。当0tR()时,(t)。RRt故co

4、s((t))cos()Rsts故当0sR()时，J(s)cos()dtRsinRsin()00RR这就是说，当汽车移动距离不超过R()（就是弧AC的长度）时，它不可能越过直线l。因此弧AC1的长度至少为R(),并且只有当弧AC1与AC完全重合时，它的长度才能等于R()。总结上述讨论，知曲线1的长度必不小于R()Rtan,并且只有当1与ACB重合时才可能相等。因此ACB是唯一的最短路径。（2）若B点在圆内，即AB2R,则应过A点作一半径R的圆，其圆心在BA延长线上，再过B点作一圆，半径为R，且与前圆切于点C，则最短路径是弧AC和弧CDB所组成的曲线（如图

5、2所示）。图23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二、最速降线1．问题意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B,如图3,求连接它们的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A点滑到B点（摩擦力不计）”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再提出这个最速降线的图3问题（problemofbrachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、

6、洛必达和伯努利兄弟。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·伯努利用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅各布·伯努利用比较麻烦的办法解决了这个问题。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线或圆滚线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在雅各布·伯努利方法的基础上，1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。现在来看，雅各布的方法是最有意义和价值的。2．

7、假设质点在滑动过程中不考虑空气阻力。3．模型尽管A，B两点间的最短距离是连接它们的直线，但是沿直线运动时速度增长较慢，如果沿一条陡峭的曲线下滑，虽然路径加长，但运动速度增长很快。为了求这条运动时间最短的曲线，在图3中将A点取为坐标原点（0,0），B点坐标为（x1,y1），连接A，B的曲线记为y(x)，于是曲线上的弧长为.根据能量守恒定律，质点在曲线y(x)上任一点的速度满足,其中m是质点的质量，g是重力加速度。将上面ds的关系代入，得到,于是质点沿曲线y(x)从A点滑4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8、⋯⋯⋯⋯⋯⋯到B点的时间可表示为(1)y(x)在A，B两个端点应有y(0)=0,y(x1)=y