第十八章隐函数及其应用

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1、第十八章隐函数及其应用教学目的与要求：1、理解隐函数和隐函数组的概念。2、掌握隐函数定理（隐函数存在、唯一性定理）。3、掌握隐函数可微性定理。4、掌握隐函数组定理、反函数组定理及坐标变换。5、会求平面曲线的切线与法线和空间曲线的切线与法平面。6、会求曲面的切平面与法线。7,深刻理解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。§1隐函数教学目的与要求：1、理解隐函数的概念。2、掌握隐函数定理（隐函数存在、唯一性定理）。3、掌握隐函数可微性定理。重点：1、隐函数定理（隐函数存在、唯一性定理）。2、隐函数可微性定理。难点：隐函

2、数定理的证明。一隐函数概念：显函数只含自变量，如中只含自变量如而方程分别确定了两个函数在这样的情况下，因变量与自变量的关系是由方程所确定的。设满足方程，若存在集合使得对，满足方程,则称由方程确定了一个定义在第十八章隐函数及其应用第23页共23页上且值域含于的函数，若记其为则成立等式,如,通过解方程有,问题：是否每个方程都能确定隐函数？否，如当不能,故须探讨隐函数的存在条件如知道方程确定了隐函数是否都能通过解方程的形式解出隐函数，化隐为显，从而研究显函数。①有可能解不出如开普勒方程确定隐函数，事实上故反函数存在，但求不出来。②解得

3、出来，但不容易。③即使能解出来，形式也未必简单。从而导致我们关心：在什么条件下方程能确定隐函数在知道了方程确定了隐函数，在不化隐为显的前提下直接由定义此隐函数的方程来研究隐函数的性质。以上两个问题构成了隐函数这部分的主要内容。二隐函数存在性条件的分析几何直观性在几何上表示曲面与曲面的交线，从而隐函数存在的问题等价于上述曲面和平面是否存在交线或从而必有及第十八章隐函数及其应用第23页共23页若还需所定义的隐函数为连续函数，则的连续性是必须的三隐函数定理（隐函数存在唯一性定理）若满足下列条件函数在以为内点的某一区域上连续在内存在连续

4、偏导则在点的某邻域内，方程唯一确定了一个定义在某区间内的函数使得，当时且在连续证明:由条件：,不妨设由条件内连续,则一定存在的某一闭方邻域使得其上每一点处都有,从而对，作为的一函数在上严格单增且连续，由条件知再由的连续性(条件)可知在上连续，有局部保号性知,当时这表明函数在矩形区域的边上取负值取正定值。故对内每一个固定的，都有而作为的一元函数在上严格递增且连续知,由在第十八章隐函数及其应用第23页共23页中的任意性知。这便确定了一个隐函数，,记，则由证明过程知满足的各项要求。再证在连续。在内任取一点，记，显然对即有,由的严格单调

5、增加知,又由的连续性知当时由前证知，由的唯一性知，这说明当时，在连续，由的任意性知在连续。注的条件为充分条件，如有但在的邻域内能确定的隐函数,但条件不满足时结论可不成立。（）有的条件可削弱。如中若换为，则可确定隐函数若有，也有呢？隐函数可微定理若满足中的全部条件，且在存在且连续，则所确定的隐函数在其定义域有连续偏导数且证：设且第十八章隐函数及其应用第23页共23页由二元中值定理（）由的连续性注若知隐函数存在，则可用复合函数求导法推出上面公式隐函数的高阶导数可由链式法则推出。二．分析条件与结论与的关系。①的条件为充分条件，可用关于

6、严格单调代替。②若的存在换为存在且则结论应存在隐函数③若有，又有，则结论呢，看例4。（反函数的存在性与其导数）设在的某邻域内有连续导函数且考虑方程：（*）显然连续连续，若则方程（*）可确定隐函数，称其为的反函数且（反函数求导公式）四隐函数求导实例第十八章隐函数及其应用第23页共23页例4讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数的一阶二阶导数。解：记（*）在连续在存在连续，故当即且满足的点附近。方程（*）皆能确定隐函数且令，即代入原方程得点令，即代入原方程设点）曲线在点分别有平行于轴和轴的切线在点附近处不能确定隐函数。方程能否在原点的某邻域

7、内确定隐函数或解：记显然在上连续。存在且连续。，而能在原点的某邻域内确定形如的连续可微隐函数。但第十八章隐函数及其应用第23页共23页，不满足的条件，故不能由设它是否有形如的隐函数存在的结论。由于,即为函数的稳定点。又，这说明在原点假设极小值，故知方程在原点的任何邻域内不能确定形如的隐函数。2方程在点的某邻域内能否确定出某一变量为另两个变量的函数？解：记有在原点的邻域内连续诸偏导皆连续，由知方程可确定形的隐函数，是否有尚需讨论：而第十八章隐函数及其应用第23页共23页故也不能从极值知识判别是否有（也可考虑）实际上在的任何邻域内当

8、时，有无数个值与之对应，故此方程不能确定形如的隐函数。隐函数求导实例6（2）求解：由题意，方程确定了为的函数设为一元函数，试问应对提出什么条件方程在点的邻域内能确定唯一的为的函数？解：记第十八章隐函数及其应用第23页共23页当在的邻域内连续且时，方程能确定的隐函