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1、第十八章隐函数定理及其应用§18.1隐函数习题解答xycosx+siny=ey=fx()x=gy()1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？xyFxy(,)cos=x+sinye−解：令，则Fxy(,)(1)在原点的某领域内连续：F(0,0)=0(2)；xyFxy′=−y−xexy(3)Fxyx′(,)=−sinx−ye，y(,)cos连续；F′(0,0)=0Fy′(0,0)10=≠(4)x，y=fx()所以由隐函数存在定理知，在原点的某领域内只能确定隐函数．xzxy+zlnye+=1(0,1,1)2方程在点的某邻域能否确定出某一个变量为另外两个变量的函
2、数？xzFxyz(,,)=xy+zlnye+−1解：令，则Fxyz(,,)UP()(1)在0内连续；F(0,1,1)=0(2)；zFxyz′(,,)=+xxzyxzFxyz′(,,)=+yzeyFxyz′(,,)ln=yxe+UP()(3)x，，z在0内连续：F′(0,1,1)=2≠0Fy′(0,1,1)10=≠F′(0,1,1)=0(4)x，，zUP()所以由隐函数存在定理知，在0内能确定隐函数x=fyz(,)y=fxz(,)与．3求由下列方程所确定的隐函数的导数dy243(1)xy+3xy−=40，求dx；243Fxy(,)=xy+3xy−4解：设，
3、则33Fxy′(,)=x2+9xy42Fxyx′(,)=2xy+12xy，y，242Fxy′(,)=x+9xy≠0所以当y时，23dy2y+12xy=−32dxx+9xy为所求．22ydylnx+y=arctan(2)x，求dx；22yFxy(,)=lnx+y−arctan解：设x，则xyyxFxy′(,)=+Fxy′(,)=−x2222y2222x+yx+yx+yx+y，，-1-dyx+y=Fxyy′(,)≠0dxx−y所以当时，为所求．∂z∂ze−xy+z−ez=∂x∂y(3)20，求，；−xyzFxyz(,,)=e+2ze−解：设，则−xyFxyz
4、′=−xe−xyFxyzx′(,,)=−ye，y(,,)，zFxyz′(,,)=−2ez，zFxyz′(,,)=−2e≠0所以当z时，∂zy∂zx==xyzxyz∂xe(2−e)∂ye(2−e)，为所求．22x+a−y22uu=(a>0)a+a−y=yea(4)，，2dydy2求dx，dx；22x+a−yFxyz(,,)=+aa2−y2−yea解：设，则22yua+a−yFxyz′(,,)=−e=−xaa，2yuyFxyz′(,,)=−−e+y2222a−yaa−y2222ya+a−yya(+a−y)=−−+a2−y2yaa2−y2，Fxyz′(,,)≠
5、0y所以当时，22dya+a−y=dxayaa(+a2−y2)ya(+a2−y2)−−+a2−y2ya2−y22222ya−ya(+a−y)=2222222222−ay−aa−y−aa(−y)+ay+ya−y2222ya(+a−y)ya(+a−y)==22222222−a−aa−y+y−a−ya(+a−y)−y=22a−y，222dyydy−a−y⋅+⋅d2ydxa2−y2dxay2==222222dxa−y(a−y)从而-2-∂z∂z222(5)x+y+z−2x+2y−4z−=50，求∂x，∂y；222Fxyz(,,)=x+y+z−2x+2y−4z−5
6、解：设，则Fxyz′(,,)2=x−2Fxyzy′(,,)2=y+2Fxyz′(,,)2=z−4x，，z，∂zx−1∂z=−y+1=−于是当z≠4时，∂xz−2，∂yz−2为所求．∂z∂x∂y(6)z=fx(+y+zxyz,)，求∂x，∂y，∂z．xy,解：把z成是的函数，则∂z⎛∂z⎞⎛∂z⎞=f′⋅⎜1+⎟+f′⋅⎜yz+xy⎟12∂x⎝∂x⎠⎝∂x⎠，∂zf′+yzf⋅′12=∂x1−f′−xyf⋅′所以12．yz,把x成是的函数，则⎛∂x⎞⎛∂x⎞0=f′⋅⎜1+⎟+f′⋅⎜xz+yz⎟12⎝∂y⎠⎝∂y⎠，∂xf′+xzf⋅′12=−∂yf′+
7、yzf⋅′所以12．yxz,把成是的函数，则⎛∂y⎞⎛∂y⎞1=f′⋅1++f′⋅xy+xz1⎜⎟2⎜⎟⎝∂z⎠⎝∂z⎠，∂y1−f′−xyf⋅′12=∂zf′+xzf⋅′所以12．dz22224设z=x+y，其中y=fx()为方程x−xy+y=1所确定的隐函数，求dx，2dz2dx．yx解：在方程两端对x求导，其中视为的函数，dydy2x−−yx+2y=0dxdx，dyy−2x=dx2y−x于是．22dzdy2y−2x=2x+2y=dxdx2y−x从而，222dz(4yy⋅′−4)(2xy−x)(2−y′−1)(2y−2x)=22dx(2y−x)4x−
8、2y6x=+22y−x(2y−x)．-3-222u=x+y+zz=fxy(,)5
