第十八章 隐函数定理及其应用1

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1、第十八章隐函数定理及其应用隐函数定理及求导公式第五节隐函数的求导公式§8-5隐函数的微分法与一元函数的情形类似，多元函也有隐函数。如果在方程式中，时，相应地总有满足该方程的唯一的z值存在,则称该方程在内确定隐函数每一个方程都能确定一个隐函数吗？此外，隐函数不一定都能显化。如果在方程式中，时，相应地总有满足该在内确定隐函数方程的唯一的u值存在,则称该方程将概念推广到一般情形一元函数的隐函数的求导法一、设确定隐函数若则对方程两边关于x求导，得从而得到一元隐函数求导公式这是利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式设求解令则故例二、由一个方程确定的隐

2、函数的求导法定理2(隐函数存在定理)设1.2.3.则方程在内唯一确定一个函数且由隐函数存在定理的条件及一元隐函数求导方法,利用多元函数求导方法，对方程F(x,y,u)=0两边关于x,y求偏导，得由于又由连续函数性质在其中自己算一下，z对x,y的偏导数是多少。求方程所确定的函数的偏导数。解令则故例设确定求其中，解例定理(隐函数存在定理)设1.2.3.则方程在内唯一确定一个函数且请同学们自己将上面的隐函数存在定理推广至一般的n元函数情形三、由方程组确定的隐函数的求导法雅可比行列式当所出现的函数均有一阶连续偏导数时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：1.2.设

3、方程组确定函数求想一想，怎么做？问题1方程组中每个方程两边关于x求导：运用克莱满法则解此二元一次方程组移项，得当时，方程组有唯一解：这样我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一)。问题2设方程组确定函数求利用问题1的结论，你可能已经知道应该怎么做了。依葫芦画瓢哦！将x或y看成常数自己动手做！当时，将y看成常数公式当时,将x看成常数公式设确定函数求解令则例同理可得问题1和问题2的方法可以推广到更一般的情形。定理(隐函数存在定理)设1.2.3.其中，方程组则在内唯一确定一组函数且一问题的提出定义隐函数的显化问题2:隐函数不易显化或不能显化如

4、何求导?问题1:隐函数是否可导?二隐函数求导法解直接对方程两边求导例2解三对数求导法1对数求导法2适用范围:先在两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.幂指函数求导：例3解等式两边取对数得例4解等式两边取对数得四由参数方程所确定的函数的导数消参数法消参困难或无法消参的求导可用复合函数求导方法1由参数方程确定的函数的定义2由参数方程所确定的函数的求导数的方法例如由复合函数及反函数的求导法则得例5解:先求运动的方向再求速度的大小例6解所求切线方程为例7解五相关变化率问题相关变化率解决的问题:已知其中一个变化率时求出另一个变化率例7解例8解六小结与思

5、考判断题隐函数求导方法:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;由其中一个变化率时求出另一个变化率思考题一、一个方程的情形隐函数的求导公式解令则均连续。函数的一阶和二阶导数为解令则解令则解1：于是，思路2：解2：令则整理得整理得整理得第十八章隐函数定理及其应用隐函数定理及求导公式二、方程组的情形下面推导公式：即，等式两边对x求导，现这是关于的二元线性方程组。方程组有唯一解。类似，对等式两边对y求导，得关于的线性方程组。解方程组得

6、特别地，方程组例5设解1：令则解2：方程两端对x求导。注意：即得即解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法。将所给方程的两边对x求导并移项:将所给方程的两边对y求导，用同样方法得隐函数的求导法则三、小结（分下列几种情况）常用解法：公式法方程两边求导法作业：151页1,2,3(1~6)，4，5.第六节微分法在几何上的应用第六节微分法在几何上的应用一问题的提出二空间曲线的切线与法平面(Applicationsofdifferentialcalculusingeometry)一问题的提出我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量推导过程二空间曲

7、线的切线与法平面1空间曲线切向量：切线方程：法平面方程：(Tangentandnormalplaneofspacecurve)解：在（1，1，1）点对应参数为t=1切线方程：法平面方程：(x-1)+2(y-1)+(z-1)=0即：x+2y+3z=6例1求曲线在点处的切线及法平面方程。2切线方程：法平面方程：切线方程：法平面方程：例2、求曲线在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。法平面方程：x-z=0切线方程：1设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线三曲面的切平面与法线(Tangentplaneandnormallineofsur

8、face)令则切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量