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1、第十八章隐函数定理及其应用一.填空题1.椭球面在(1,1,1)处的切平面方程____________,法线方程_____________.2.隐函数存在惟一性定理的条件是_________条件.3.由方程所确定的隐函数的导数为_________.4.设,则.5.曲线上任一点处的切线方程为__________________.6.螺旋线在处的切线方程为______________,法平面方程________________.7.设则8.在曲面上点_______处,法线垂直于平面9.利用拉格朗日乘数法是将条件极值化为___________极值.10.由方程所确定二元隐函数的偏导
2、数为二.计算题1.设其中为由方程所确定的隐函数,求2.确定正数,使曲面与椭球面在某一点相切(即在该点有公共切平面).3.求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.4．在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小。5.求平面曲线上任一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.6.设确定隐函数，求.7.抛物面被平面5截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.8.验证二元方程在点0的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数并求.9.求出曲线上的点,使在该点的切线平行于平面.10.设求填空题答案:1.切平面方程,法线方程2.充分条件.3.4..5..6.切线方
3、程,法平面方程.7..8..9.无条件.10..计算题答案:1.解：由得,由得故.1.解：设两曲面在点相切,则曲面在点的切平面5.与椭球面在点的切平面应为一个平面,所以,即又所以.1.解：设球面方程为是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点,则此长方体的长、宽、高分别为体积为令由即解得代入得为惟一驻点，由题意可知长方体的最大体积存在，所以当长方体的长、宽、高都为时其体积最大。2.解：设所求点为,则此点到三直线的距离依次为：三距离平方之和为,由求得驻点.由于驻点惟一,根据问题本身可知,距离平方和最小的点必定存在,故所求点即为.3.解：令则于是,曲线上任一点处的切线方程为：.5切
4、线与两轴的交点分别为,而.1.解:方程两边对求导得,解得,由原方程.故.2.解:令,则有求得方程组的解为,.由于所求问题存在最大值与最小值,故由所求得的两个值,正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离.3.解:函数与在点(0,0)邻域连续,且由隐函数存在定理,在点0的某个邻域存在唯一一个有连续导数的函数,使且5.1.解:,设所求点对应的参数为,则曲线在该点处切向量可取为,而平面的法向量为,切线与平面平行,得,解得,于是所求点为或.2.解:设,则,于是.5
