由两道竞赛题浅析函数单调性的巧用

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1、由两道竞赛题浅析函数单调性的巧用【摘要】单调性是函数最重要的性质之一，文章通过两道竞赛题，为我们展示了试题中函数单调性的巧用，并对其进行了进一步的推广、研究。　　【关键词】函数单调性竞赛题　　【】G632【】A【】1674－4810（2012）09－0137－01　　　　例1，x、y为实数，且满足，则　　x＋y＝。（高中联赛，1997）　　解：原方程组变形为。　　根据方程组的结构特征，我们可以构造函数f（t）＝t3＋1997t，则由方程组得，f（x－1）＝f（1－y）。　　∵f（t）′＝3t2＋1997＞0　　

2、∴f（t）在R上单调递增，则由函数的单调性质得：　　x－1＝1－y，即x＋y＝2。　　例2，如果cos5θ－sin5θ＜7（sin3θ－cos3θ），θ∈［0，2π），则θ的取值范围为。（全国高中数学联赛，2011）　　解：sin3θ－cos3θ＞（cos5θ－sin5θ）　　sin3θ＋sin5θ＞cos5θ＋cos3θ　　设t＝sinθ，t∈R。　　令f（t）＝t3＋t5；　　∵f（t）′＞0，∴f（t）在t∈R时单调递增。　　即f（sinθ）＞f（cosθ）；　　∴sinθ＞cosθ；　　∴，)。　　以上

3、两道例题，我们将原式进行适当变形，并根据其结构特点，构造相应的函数，通过分析函数的单调性，利用单调函数的单值性特点，即可将其顺利解答，该方法巧妙简洁。　　上述问题利用了函数的单调性，进而我们可以对以上两例进一步扩展。　　例1可推广为：　　若（n，m，k∈R＋且m≠n，h　　∈R），则x＋y＝a＋b。　　解：可将方程组变形为。　　　　构造方程：f（t）＝t2n＋1＋kt2m＋1。　　由方程组得：f（x－a）＝f（b－y）。　　∵f（t）′＝（2n＋1）t2n＋k（2m＋1）t2m＞0；　　∴f（t）在R上单调递增

4、。　　故有：x－a＝b－y。　　∴x＋y＝a＋b。　　同理，例2可推广为：　　若cos（2n＋1）θ－sin（2n＋1）θ＜λ（sin（2m＋1）θ－cos（2m＋1）θ），（m，n∈R＋且m≠n，λ∈R），则：　　，　　解：可将原式变形为：λsin（2m＋1）θ＋sin（2n＋1）θ＞cos（2n＋1）θ＋λcos（2m＋1）θ。　　设t＝sinθ，t∈R。　　f（t）＝t2n＋1＋λt2m＋1。　　∵f′（t）＝（2n＋1）t2n＋λ（2m＋1）t2m＞0。　　∴f（t）为R上的增函数。　　即：f（sinθ

5、）＞f（cosθ）。　　∴sinθ＞cosθ；　　∴，。　　由以上例题可以看出，通过构造函数，利用函数单调性解决问题，是反映题目本质特征的解法，有事半功倍之效。因此，在以后的学习中，我们不能就题论题，而要深入思考，揣摩命题人意图，开阔数学思维，找到反映题目本质结构的解法，提高数学解题能力。