第9讲 函数的应用

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1、第9讲函数的应用【2013年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．【复习指导】函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题．基础梳理1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y＝abx＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型：y＝mlogax

2、＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型：y＝axn＋b.(2)三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)

3、建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．双基自测1．(人教A版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于()．A．3～4万元B．4～5万元C．5～6万元D．2～3万元解析设存入的本金为x，则x·2%·

4、20%＝138.64，∴x＝＝34660.答案A2．(2012·新乡月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()．A．100台B．120台C．150台D．180台解析设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，∴x≥150.答案C3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地

5、(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为()．A．1000米2B．2000米2C．2500米2D．3000米2解析设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米，如图，则4x＋3y＝200，又矩形场地的面积S＝3xy＝3x·＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500，∴当x＝25时，Smax＝2500.答案C4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此

6、时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．答案6100005．(2012·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y＝a

7、x－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.答案4考向一一次函数、二次函数函数模型的应用【例1】►(2011·武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x

8、)元，且R(x)＝3000x－20x2，C(x)＝500x＋4000(x∈N)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最