1.3.2函数的奇偶性

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1、1.3.2奇偶性1.3函数的基本性质请观察以下两组函数的图象，从对称的角度，你发现了什么？偶函数与其性质图象关于y轴对称再观察表，你看出了什么？…－3－2－10123……9410149…——当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。实际上，对于R内的任意一个x，都有这时我们称函数为偶函数.偶函数定义一般地，如果对于函数　　的定义域内的任意一个　，都有　　　　　那么称函数是偶函数（evenfunction）；1、偶函数偶函数性质2、偶函数图象关于y轴对称；【强化】判断：对于定义在上的函数　，（1）若　　　　　　则　　是偶函数；（2）若对于定义域内的一些　，使则　　是

2、偶函数；（3）若对于定义域内的无数个　，使则　　是偶函数；（4）若对于定义域内的任意　，使则　　是偶函数；（5）若　　　　　　则　　是偶函数。奇函数及其性质图象关于原点对称一般地，如果对于函数　　的定义域内的任意一个　，都有　　　　　那么称函数是奇函数（oddfunction）；结合偶函数的定义，你能总结出奇函数的定义吗？1、奇函数奇函数性质2、奇函数图象关于原点对称；3、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(x)=0.如果函数　　是奇函数或者是偶函数，我们就说函数具有奇偶性。函数奇偶性定义具有奇偶性的函数，对于函数　　的定义域内的任意一个x满足意味着其定义域满足怎样

3、的条件？……-----定义域关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.【探索】！注意：函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，是整体性质，而单调性是相对于定义域的某个期间而言的，是局部性质.奇偶性的分类例如：例如：例如：例如：例5、判断下列函数的奇偶性：(1)解：f(x)定义域为R,关于原点对称。∴f(x)偶函数(2)解：f(x)定义域为{x

4、x≠0}关于原点对称。∴f(x)奇函数判断或证明函数奇偶性的基本步骤：练习判断下列函数的奇偶性：1、偶函数偶函数（2）性质：图象关于y轴对称；2、奇函数（1）定义奇函数（2）性质：图象关于原点对称；（1）定义若奇函

5、数f(x)在x=0处有定义，则f(x)=0.3、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.上节回顾判断函数奇偶性的方法：步骤：一看、二找、三判断。1、图像法：2、定义法：3、性质法（运算性质）：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x).g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数例1、判断下列函数的奇偶性：例2、判断函数的奇偶性.分段函数奇偶性的判断：练习：证明函数是奇函数.分段函数奇偶性的判断：例3、函数若对于任意实数a,b都有求证：为奇函数.抽象函数奇

6、偶性的判断：练习：已知函数的右半部分图象，根据下列条件把函数图象补充完整；f(x)是偶函数;2)f(x)是奇函数.xyO12xyO132-1BA-2-11-3-1观看下列两个偶函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何不同？可得出什么结论？OxOxy结论：偶函数在y轴两侧的图像的升降方向是相反的；即：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.观看下列两个奇函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何特点？可得出什么结论？OxyOxy思考：奇函数是否具有相同的性质？结论：奇函数在y轴两侧的图像的升降方向是相同的；即：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.练习：（1）已知偶函数在区间

7、上为减函数.则的大小关系是.（2）若函数是偶函数，则实数a=.0（3）已知均为奇函数，且在上的最大值为5，则在上的最小值为.-1例:已知函数是定义在上的偶函数，当时，当时，.练习：函数是R上的奇函数，当时求的解析式.例:已知函数是奇函数，其定义域为，且在上为增函数.若试求的取值范围.解:练习：已知函数是R上的偶函数，在区间上递增，且有求的取值范围.例3范围是（）D