1.3.2函数奇偶性

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1、时间：2006年9月20日函数的奇偶性引入课题：1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象。解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3,求f(0),f(-1),f(1)f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-x)=(-x)3=-x3思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？f(-2)=f(2)

2、f(-1)=f(1)f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)1.函数奇偶性的概念:偶函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1).函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。[a,b][-b,-a]xo（2）若f(x)为奇函数,则f(-x)=－

3、f(x)成立。若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。练习1.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4________④f(x)=x-1__________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2__________偶函数③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________结论：一般的，对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2

4、x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)∴f(x)为奇函数∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x)∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R☆小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。练习2.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2+1∴f(x)为奇函数∵f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1∴f(x)为偶函数(1)f(x)=x-1x解：定义域为﹛x

5、x≠0﹜解：定义域为R∵f(-x)=(-x)-1-x=-x+1x=

6、-f(x)=f(x)(3).f(x)=5(4)f(x)=0解:f(x)的定义域为R∵f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数解:定义域为R∵f(-x)=0=f(x)又f(-x)=0=-f(x)∴f(x)为既奇又偶函数yox5oyx结论:函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(5)f(x)=x2+x解:∵f(-1)=0,f(1)=2∴f(-1)≠f(1)，f(-1)≠-f(1)∴f(x)为非奇非偶函数(6)f(x)=√x解:定义域为[0,+∞)∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数(7)f(x)=3√x解:定义域为R∵f(-x)=3-x=-3√x=-f(x)∴f(

7、x)为奇函数√小结：根据奇偶性,函数可划分为四类:奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数解(1)1-x2≥0

8、x+2

9、≠2-1≤x≤1x≠0且x≠-4-1≤x≤1且x≠0∴定义域为[-1,0)∪(0,1]√1-x2（2）f(x)=(x+2)-2（3）f(-x)=√1-(-x)2-x√1-x2x-=∴f(x)为奇函数.例2.判断函数f(x)=的奇偶性。（1）求函数的定义域（2）化简函数表达式（3）判断函数的奇偶性

10、x+2

11、-2√1-x2√1-x2x==-f(x)奇函数的图象(如y=x3)偶函数的图象(如y=x2)yxoaaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-ayxoaP/(-a,f(-

12、a))p(a,f(a))-a(-a,-f(a))(-a,f(a))2.奇偶函数图象的性质:2.奇偶函数图象的性质:⑴奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.⑵偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于：①.判断函数的奇偶性。②.简化函数图象的画法。oyx例3已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的