2薛定谔绘景与海森堡绘景

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1、2.2薛定谔绘景与海森堡绘景一、量子动力学的两种描述方法薛定谔绘景：i）态矢随时间变化（通过作用于态矢的时间演化算符描述），ii）观测量算符与时间无关。海森堡绘景:i)态矢与时间无关,ii)观测量算符随时间变化海森堡绘景和薛定谔绘景是等价的。二、么正算符量子力学中么正算符有多种功用：1）一种表象的基矢与另一表象的基矢可由么正算符联系，态矢本身不变，但其展开系数则因表象而变；2）作用于态矢的空间平移和时间演化算符。在这种么正算符作用下，态矢改变，但态矢的内积不变：三、么正变换对态或算符作用的等价性由于可有两种等价方法：1）

2、态矢变（），算符不变；2）态矢不变，算符变例如对于无穷小平移算符，方法一：的期待值方法二：，两者都得到相同的结果经典物理并无态矢的概念，但有平移、时间演化等。平移和时间演化等作用于物理量如坐标，角动量等可观测量而使其改变。因此，方法2）似乎与经典力学的联系更密切。四、薛定谔绘景与海森堡绘景中的态矢和观测量在薛定谔绘景中态矢随时间变化，这里，算符不变。在海森堡绘景，但在时，，在这两种绘景中，算符的期待值是相同的，五、海森堡运动方程对不是时间显函数的情形（适于大部分物理问题），（对）得Heisenberg运动方程：它是根据

3、的定义和u的性质推导出来的。五、海森堡运动方程（续)经典物理中，对不是时间显函数的，有由此，根据Dirac的量子化规则便得海森堡运动方程。但在海森堡运动方程中可以无经典对应，例如自旋算符也满足（但不能写成q和p的函数）即经典力学可由对应关系推出，反之却不然六、量子力学与经典力学观察量的对应时间演化算符的薛定谔方程和海森堡运动方程的使用都需要有合适的哈密顿算符H。对有经典对应的物理体系，我们假定H与经典物理有相同的形式而将经典的和用量子力学的相应算符来代替。当对应规则牵涉不对易观测量时，则要求H是厄米的。例如，经典力学的乘

4、积xp之量子力学对应为。物理体系无经典对应时，需要猜想H算符的形式。猜想形式的正确性以所用H给出与实验观测结果相同来检验。在实际应用中经常需要计算或与及的函数的对易关系。对此可使用公式：这里F及G分别是可以用和级数展开的函数，这两式可通过级数展开及重复使用而得。七、自由粒子的运动由经典哈密顿的形式：并将观测量和理解成Heisenberg绘景的算符，1）即对自由粒子，动量算符是运动常量，即。一般而言，若与H对易，则是运动常量。2）与匀速直线运动的经典轨迹方程相似。由于不同时刻的坐标算符不对易根据测不准关系，表明粒子的位置会

5、随时间而变得越来越不确定(对应于波动力学的波包扩展)八、Ehrenfest定理考虑粒子在势场中运动。是x，y，z算符的函数由于与对易，与自由粒子情形相同。即，与牛顿第二定律相仿（海森堡绘景）取期望值，（适用于薛定谔和海森堡绘景）由于Ehrenfest定理里无(要求空间和时间平移算符中相关常数相等),波包中心的运动与经典粒子受势场作用的形式相同经典粒子运动轨迹反映的是量子体系波包中心的位置变化！九、基矢在薛定谔绘景中，基矢满足。因A与时间无关，故，基矢不随时间变化，这与态矢随时间变化是极不相同的。在海森堡绘景中，由时可推得

6、基矢的本征方程为即基矢随时间变化为。可见海森堡绘景的基矢与薛定谔绘景的态矢旋转方向相反，前者满足错号的薛定谔方程：。注：基矢对应的本征值则由上可知不随时间变化，与么正等价观测量具有相同本征谱这点相一致。十、算符和态矢的展开算符的展开：与基矢随时间按变化的情况一致态矢的展开：两绘景中态矢的展开系数是相同的（薛定谔绘景）基矢态矢（海森堡绘景）基矢态矢基矢与态矢点积对i)基矢不变、态矢反时针旋转，或ii)基矢顺时针旋转相同角度、态矢不变是相同的。注：原则上可以在海森堡绘景中坚持用不随时间变化的基矢，这时展开系数也将不随时间变化

7、。只是这样的话，基矢便不再是时的算符本征态了，理论上更复杂。十一、跃迁振幅初态为A的本征值为a’的本征态，在时间t被发现在B的本征值为b’的本征态的振幅，即跃迁振幅可计算为：薛定谔绘景,态矢为与时间无关，振幅海森堡绘景，态矢不变，基矢反方向演化，，振幅仍为。两图像完全等价两绘景的差别可总结为薛定谔绘景海森堡绘景态矢变化（时间演化算符、薛定谔方程）不变观测量不变变化（幺正变换、海森堡运动方程）基矢不变变化经典力学与量子力学的比较基本假设经典力学量子力学1粒子状态由x(t)和p(t)表征，即是相空间{x,p}中的一个点粒子状

8、态由Hilbert空间中的矢量表征2力学量A是x和p的函数：A=A(x,p)力学量与厄米算符对应，A对应的算符为A(x,p)=A(x,p)3如粒子处于(x,p)状态，测量A的结果为A(x,p)，粒子的状态不变对处于态的粒子，测量A的结果是得到其本征值之一，ai,相应几率为.由于测量，体系的状态变为相应的4体系状态随时