抛物线的简单几何性质

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时间:2018-10-20

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1、抛物线的简单几何性质X定义:在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、温故知新范围1、由抛物线y2=2px(p>0)有所以抛物线的范围为二、探索新知如何研究抛物线y2=2px(p>0)的几何性质?抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性2、关于x轴对称即点(x,-y)也在抛物线上,故抛

2、物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px,顶点3、定义:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中,令y=0,则x=0.即:抛物线y2=2px(p>0)的顶点(0,0).只有一个注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。离心率4、P(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率。由定义知,抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。(二)归纳:抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴el

3、FyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1特点:1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P(x,y)P越大,开口越开阔y2=2pxxyo·FlAB过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径,长度为

4、2pP越大,开口越阔补充(1)通径:(标准方程中2p的几何意义)利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。补充(1)通径:

5、PF

6、=x0+p/2xOyFP通径的长度:2PP越大,开口越开阔(2)焦半径:连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式:(标准方程中2p的几何意义)总结抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的,等于1;抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线;抛物线的通径为2P,2p越大,抛物线的张口越大.1、范围:2、对称性:

7、3、顶点:4、离心率:5、通径:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,  ),解:所以设方程为:又因为点M在抛物线上:所以:因此所求抛物线标准方程为:例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,  ),求它的标准方程.三、典例精析坐标轴当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论练习:1、已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,那么抛物线通径长是.2、已知点A(-2,3)与抛物线的焦点的距离是5,则P=。4例2、斜率为1的直

8、线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长。xyOFABB’A’xyOFABB’A’抛物线的焦点弦的特征1、已知AB是抛物线y2=2px的任意一条焦点弦,且A(x1,y1)、B(x2,y2)1)求证:y1y2=-P2,x1x2=p2/4。2)设θ为直线AB的倾斜角,求证:当θ=90o时,取得︱AB︱的最小值2p。3)若弦AB过焦点,求证:以AB为直径的圆与准线相切。四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的,等于1;抛物线只有一个顶点,一个焦点,一

9、条准线;抛物线的通径为2P,2p越大,抛物线的张口越大.1、范围:2、对称性:3、顶点:4、离心率:5、通径:再见!

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