数学建模-多目标规划.pdf

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1、数学建模——多目标规划多目标规划解的讨论——非劣解多目标规划及其求解技术简介效用最优化模型罚款模型约束模型目标规划模型目标达到法目标规划方法目标规划模型目标规划的图解法求解目标规划的单纯形方法多目标规划应用实例建模案例多目标规划是数学规划的一个分支。研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这

2、些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规

3、划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。3一多目标规划及其非劣解多目标规划模型（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：1(X)g1max(min)f(X)1()gX22ZF(X)max(min)f2(X)

4、s.t.(X)G(X)gmmmax(min)fk(X)T式中：X[x1,x2,,xn]为决策变量向量。缩写形式：max(min)ZF(X)（1）st..(X)G（2）有n个决策变量，k个目标函数，m个约束方程，则：Z=F(X)是k维函数向量，(X)是m维函数向量；G是m维常数向量；对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：max(min)ZCXs.t.AXb式中：X为n维决策变量向量；C为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；B为m×n矩阵，即约束方程系数

5、矩阵；b为m维的向量，即约束向量。多目标规划的非劣解max(min)ZF(X)s.t.(X)G多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？非劣解可以用图1说明。在图1中，max(f,f).就12方案①和②来说，①的f目标值比②大，但其目2标值f比②小，因此无1法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：④比①好，⑤比图1

6、多目标规划的劣解与非劣解④好,⑥比②好,⑦比③好……。而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。9二多目标规划求解技术简介为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。效用最优化模型罚款模型约束

7、模型目标达到法目标规划模型方法一效用最优化模型（线性加权法）思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：maxZ(X)（1）st..(X)G（2）是与各目标函数相关的效用函数的和函数。在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值i来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：kmaxiii1(x,x,x)g(i,2,1,m)i12nik式中，i应满足：

8、i1i1T向量形式：maxst..(X)G方法二罚款模型（理想点法）思想:规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值f与期望值f*之间的偏差来选择问题的ii解，其数学表达式如下：k2minZi(fif