平面向量在解题中的应用

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1、平面向量在解题中的应用求函数的值域或求最值问题是学生普遍感觉比较头疼的题型。如果我们在解题中巧妙应用所学的平面向量知识，就会有意想不到的收获。向量的坐标是代数与几何联系的纽带，是平面向量的重点内容，它与解析几何联系比较紧密，许多解析几何问题（如求长度、角度、点的坐标、轨迹等）都可以用平面向量知识来求解。下面我就举例分析一下平面向量在不同解型中的具体应用。　　一、用平面向量求函数的值域或最值问题　　例1：求函数y=■-■的值域。　　解：原式可化为y=■-■，　　设m=（x+■,■），n=（x-■,■），　　则y=■-■=

2、m

3、-

4、n

5、，　　∵

6、m-n

7、=

8、（1，0）

9、=1，又

10、

11、m

12、

13、-　　

14、n

15、

16、≤

17、m-n

18、=1，当m与n平行时取等号，而m与n不可能平行，　　∴

19、

20、m

21、-

22、n

23、

24、＜

25、m-n

26、=1，　　即-1＜

27、m

28、-

29、n

30、＜1，　　∴y的值域为（-1，1）。　　例2：求函数y=3x+2+4■的最大值。　　解：构造向量，设m=（x，■），n=（3，4），　　则m·n=3x+4■　　≤

31、m

32、

33、ｎ

34、＝２×5=10，　　当且仅当m与n平行时取等号，　　即m=kn（k＞0），x=■时取等号。　　∴y=3x+2+4■≤10+2=12，　　∴y的最大值为12。　　评注：巧妙运用向量的知识求出函数的最值或值域，不但方法新颖，而且运算简捷。　　二、用平面向量解决解析几何问题

35、　　向量的坐标是代数与几何联系的纽带，是平面向量的重点内容，它与解析几何联系比较紧密，许多解析几何问题（如求长度、角度、点的坐标、轨迹等）都可以用平面向量知识来求解。　　例3：椭圆4x2+9y2=36的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围。　　解：由已知得F1（-■，0），F2（■，0），设点P（xP，yP），则yP2=4-■xP2，由于∠F1PF2为钝角，所以cos∠F1PF2＜0，从而■·■＜0，∴xP2+yP2-5＜0，即xP2+4-■xP2-5＜0，∴－■■＜xP＜■■，所以点P横坐标的取值范围是（－■■，■■）。　　评注：用

36、向量作为工具解决解析几何问题时，不仅解法简捷明快，而且易理解，易操作。　　三、用平面向量解决三角问题　　例4：求函数y=3sinx+4cosx的最大值。　　解：令m=（3，4），n=（sinx，cosx），∵mn=3sinx+4cosx，

37、m

38、

39、ｎ

40、=5，利用mn≤

41、m

42、

43、ｎ

44、，∴3sinx+4cosx≤5，∴y的最大值是5。　　四、用平面向量解决不等式问题　　例5：求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）。　　解：令m=（a，b），n=（c，d），由

45、mn

46、≤

47、m

48、

49、n

50、，可得

51、（ac+bd）

52、≤■■，平方得（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）。　　评注：

53、本题通过巧妙引入向量，运用

54、mn

55、≤

56、m

57、

58、n

59、解决问题，让人回味无穷。　　（责编张晶晶）