函数的基本性质知识点总结

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1、函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用

2、定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x

3、)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

4、g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]5在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1

5、给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。④若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.3.函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.性质：①如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.②若周期函数f(x)的周期为T，则（）是周期函数，且周期为。③若,则函

6、数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.例题：1.的递减区间是；的单调递增区间是。2.函数的图象（）5A.关于轴对称B.关于轴对称C.关于原点对称D.关于直线对称3.设是定义在上的奇函数，若当时，，则。4.定义在上的偶函数满足，若在上递增，则（）A.B．C．D．以上都不对5.讨论函数的单调性。6.已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。7.已知函数的定义域为N，且对任意正整数，都有。若，求。习题：题型一：判断函数的奇偶性1.以下函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），(6)；其中奇函数是，偶函数是，非奇非偶函数是。2.已知函数=,那么

7、是()A.奇函数而非偶函数B.偶函数而非奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数也非偶函数题型二：奇偶性的应用1.已知偶函数和奇函数的定义域都是(-4,4),它们在上的图像分别如图（2-3）所示，则关于的不等式的解集是_____________________。52.已知，其中为常数，若，则____3.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.4.已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，的解析式为。5.若是偶函数,且当时,,则的解集是（）A.B.C.D.题型三：判断证明函数的单调性1.判断并证明在上的单调性2.判断在上的单调性题型四：函数的

8、单调区间1.求函数的单调