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1、平面向量霓暴输导安金龙江苏苏州向量是近代数学中的重要的概念之一,它是沟通代点评∀本题考查了向量的基本运算,向量的数量积··,数、几何与三角函数的的一种工具,有着极其丰富的实的计算公式/0一1/210】3454及由此推导出的公式,·,、。。。际背景34。一各共冬一11这也是各类考试命题者所’一一’一只了’”’学,、1川106”∗∗∗∗∗∗“习了平面向量后我们进行运算的对象就从数,·//7,,青睐的考点之一尤其是公式一1/6更是向量的数字母扩展到了向量这无疑是认识上的一次质的飞跃,如函数、、、矩量积运算和实数运算之间的一座桥梁应引起我们
2、的高为进一步理解其他的数学运算映射变换阵的运算等等创造了条件度重视/、,例∃∃%&年浙江预赛题已知0是两个相互向量既是现实生活中重要的数学模型同时也是数,。,。·/,。·形结合的重要载体正因为如此,当向量知识引人高中垂直的单位向量且1卜#8一80一9则对于!,、!7,3!,/!7,,下面任意的实数1一一06的最小值是教材后就受到各类考试命题者的高度关注笔者人&:(;#∃<#8对近几年数学竟赛以及高考中所出现的有关向量的问∀/·/∃,,、解由一1/#题加以总结以期对各位读者进一步认识感受向量的36∀‘≅7>6/∃工具性有一些帮助
3、可得=一!/一!06.>一?/一?0一?一#0?/7!!,/·>!73!∀!7/·>’一、、基本运算.扩∋圣∋6护一7一70∋70.Α1有关向!的基本概念的考查/’’,/·37·>∀7/·,,不∋!Α11∋!6Β01一∃#一7!0∋7!!0纵观近几年的高考试题及竟赛试题难发现对于又因为/、0是两个相互垂直的单位向量,且平面向量的线性运算以及向量的数量积的计算的考查,·,·,>3/3,∀16.#8.80.9始终是一个热点下面举例说明3!,/!7’。’’7∀/·例#∃%%&年江苏初赛题设向量成绕点。逆时所以1一一2,6一12∋片1/2∋引0
4、6一∃!3一!7·3!,!7/·∃!!6!∀∃70∋70.#8∋片∋一Χ一5.#8∋,,,圣针旋转要得向量’且∃‘∋’一()’则向量“’,、”’一+葩∗一一诚∗一葩∗一、”一乃+”+葩∗一?,’!∀’!,∃Δ∀∃,∗∃∗∗∗一8∋一9一)一#Χ.#99∋一8∋一9>!,/!7’,>!,/?7,所以6一一06#992一一06#∃∀分析要求向量的坐标必须得到关于向量的!6,!∀,3!6/!7葩丽当且仅当一8一9时1一一06取得最小值,坐标的两个方程由已知可得丽土葩且∃丽∋葩,#∃,故选;,,,()若设出向量丽的坐标便可由向量欲的坐标表例
5、8∃%%Χ年浙江预赛题手表的表面在一平面示出向量之浴的坐标上整点#,∃,⋯,#∃这#∃个数字等间隔地分布在半径,,,∀。。一−一一−)解设则有‘二,,)卜,丽葩、涯1二)1。1,,。,),为.3节的曰,圆周4上‘从、整点户、、2‘到切整所以∃成∋砧.∃。一∃∋−.(#目,一以1少1,。‘一Δ八2十56了)乙一厂曰一口一Ε点−的向量记作诬万2不则丈!∀打%,·)#∃一&∋77⋯7于是)解得花斌斌斌∃十#%一(1一++卜++一卜∀50∀)∀∀#+∗8,,丝、,一一丝)解如图连结相邻刻度因此成+丝’’筋−丝、’∗∗.一一/
6、∗∗0∃ΦΙ,。、,,、,,、,∀。##一∃。。,“,‘二二Γ丫。二∋⋯十5二一一∗涯二,、、二、求证的线段构成半径为瞥的圆的内接正‘∃边形相邻两个丽厂北ΧΙ∀,,,,边构成的向量的夹角即为正#∃边形的外角,为8%各证明设油一。能一,茄一。令专就一Κ则、,、,。二。Φ∗ΦΦ“∀Φ二。,,,,,,∃·涯·一压丽竺,一油十二∋ΛΜΛ钊#∃⋯其中二边构成的向量的长为瞥5ΗΙ肴斌斌斌卿号,,Φ6Φ厉、(!∃一8‘Γ油斌慈一·一二万5万,··则属蕊一34含一竺寺二共有所以万尹不育兀式一Ν3十Λ一#Μ〕3十ΛΜ.扩∋叼罕3·Κ∋ΛΛ一6
7、,,,,,Ι,7Λ一6Λ.%#∃⋯扩#∃个相等的项所以求得数量积之和为Χ万一)。···又因为5二劝十∋⋯十万瓦劣二、向,在解决有关三角形的问题中的应用斌斌斌,三,北角形是最基本的平面图形也是诸多考题的基本·,,>,∋‘‘,,,所以5一‘∋7Λ一#载体引入平面向量之后三角形中的许多问题都可借Ν艺〕〔客,∀助于向量的知识加以解决下面举例说明∃∃∃#,∋,‘叩,一‘∋,一例9已知△ϑ:;中:」一砰些笋卫····%,ϑ理∃∃劝就Ο则△:3是,∋ΙΜ∋二/∋宁一豁,,又因为6/6.Α0Ε一136一#3。Χ%ϑ锐角三角形与的夹角为##矿
8、一∃#矛一6Π直角三角形。所以Θ二Ι∗卜花丁Ι州卜一下犷一一Ι乙+刀Χ;<不能确定钝角三角形、三平面向,在代数中的应用,∀要判断一个
