数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

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时间:2018-11-27

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1、第一章绪论(12)1、设,x的相对误差为,求的误差。[解]设为x的近似值,则有相对误差为,绝对误差为,从而的误差为,相对误差为。2、设x的相对误差为2%,求的相对误差。[解]设为x的近似值,则有相对误差为,绝对误差为,从而的误差为,相对误差为。3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:,,,,。[解]有5位有效数字;有2位有效数字;有4位有效数字;有5位有效数字;有2位有效数字。4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中均为第3题

2、所给的数。(1);[解];(2);[解];(3)。[解]。5、计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R允许的相对误差是多少?[解]由可知,,从而,故。6、设,按递推公式计算到,若取(五位有效数字,)试问计算将有多大误差?[解]令表示的近似值,,则,并且由,可知,,即,从而,而,所以。7、求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字()[解]由与(五位有效数字)可知,(五位有效数字)。而,只有两位有效数字,不符合题意。但是。8、当N充分大时,怎样求?[解]因为,当N充分大时为两个相近数相减,设,,

3、则,,从而,因此。9、正方形的边长大约为100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1?[解]由可知,若要求,则,即边长应满足。10、设,假定g是准确的,而对t的测量有秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减少。[证明]因为,,所以得证。11、序列满足递推关系,若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?[解]设为的近似值,,则由与可知,,,即,从而,因此计算过程不稳定。12、计算,取,利用下列公式计算,哪一个得到的结果最好?,,,。[解]因为,所以对于,,有一位

4、有效数字;对于,,没有有效数字;对于,,有一位有效数字;对于,,没有有效数字。13、,求的值。若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大?[解]因为(六位有效数字),,所以,。14、试用消元法解方程组,假定只有三位数计算,问结果是否可靠?[解]精确解为。当使用三位数运算时,得到,结果可靠。15、已知三角形面积,其中c为弧度,,且测量a,b,c的误差分别为,证明面积的误差满足。[解]因为,所以。第二章插值法(40-42)1、根据(2.2)定义的范德蒙行列

5、式,令,证明是n次多项式,它的根是,且。[证明]由可得求证。2、当时,,求的二次插值多项式。[解]。3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144[解]若取,,则,,则,从而。若取,,,则,,,则,从而。4、给出的函数表,步长,若函数具有5位有效数字,研究用线性插值求近似值时的总误差界。[解]设插值节点为,对应的值为,函数表值为,则由题意可知,,,近似线性插值多项式为,所

6、以总误差为,从而。5、设,求。[解]。令,则,从而极值点可能为,又因为,,显然,所以。6、设为互异节点,求证:1);2);[解]1)因为左侧是的n阶拉格朗日多项式,所以求证成立。2)设,则左侧是的n阶拉格朗日多项式,令,即得求证。7、设且,求证。[解]见补充题3,其中取即得。8、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长h应取多少?[解]由题意可知,设x使用节点,,进行二次插值,则插值余项为,令,则,从而的极值点为,故,而,要使其不超过,则有,即。9

7、、若,求及。[解]。。10、如果是m次多项式,记,证明的k阶差分是次多项式,并且(l为正整数)。[证明]对k使用数学归纳法可证。11、证明。[证明]。12、证明。[证明]因为,故得证。13、证明:。[证明]。14、若有n个不同实根,证明。[证明]由题意可设,故,再由差商的性质1和3可知:,从而得证。15、证明n阶均差有下列性质:1)若,则;2)若,则。[证明]1)。2)。16、,求,。[解],。17、证明两点三次埃尔米特插值余项是,并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。[解]见P30与P33,

8、误差限为。18、XXXXXXXXXX.19、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。[解]设,则,再由,,可得:解得。从而。20、设,把分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数,并证明当时,在上一致收敛到。[解]令。21、设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点中点处的与的值,并估计误差。[解]由题意可知,,从而当时,。22、求在上的分段线性插值函数,并估计误差。[解]设将划分为长度为h的小区间,则当,时,从而误差为,故。23、求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差。[解]设

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