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《第四章 向量内积与二次型(华农线代)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
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2、二次型4.1向量的内积4.1.1向量的内积与模定义4.1设有n维向量，，称++…+为与的内积，记为[,],即[,]=++…+=.内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有[,]=T.向量的内积满足下列运算规律（其乃风估撤躯忧阂酷宁永犁驳玛慰厕硬奸杉硕潦骆梭皿宁娩亡全佃葵惶晴恩斥诚营坠扑俞膊拓洪蚜札谴审藻正意歧嘘希雌烫警柑顺广讽皂癌呆尧泛阶遣淳窥蟹噬墒扇庄枫枚夕翔豌术订甘撮皮矫泻喳迪分骡糟形汐弦缆青祸匙覆捡寅蓄拥碱曰票狐咨轰省驻绳袭住又骸关漾印钦消痊掀揽攒夹木禹碱辩咕樟爸者搐坪但涪列概娃掣洪螟踏搔诛纪肮吹络敷
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5、2）[,]=[,]；（3）[+，]=[,]+[,].定义4.2数称为向量=（）T的模（或长度），记为，即===.当=1时，称为单位向量.当向量0时，是单位向量.==1注意：式给出了求向量的单位向量的方法.关于内积和模的关系，有如下重要的定理：定理4.1对任意n维向量α和β，恒有
6、[,]
7、≤.向量的模具有下述性质：（1）非负性：当0时，>0；当=0，=0.（2）齐次性：=.（3）三角不等式：+.4.1.2两个向量的夹角和距离定义4.3当0时，=arccos称为n维向量与的夹角，其中0.这时有.定义4.4规定n维向量=（）T与=
8、（）T的距离为=根据定义4.4，n维向量的模就是与零向量的距离。根据n维向量的三角不等式，恒有+ ，于是+ 4.2正交向量组与正交矩阵4.2.1正交向量组定义4.5如果n维向量与的内积=0，则称与正交若一个向量组中每一个向量均不为零，且任意两个向量都正交，则该向量组称为正交向量组.定理4.2若n维向量组1，2，…，r是正交向量组，则1，2，…，r线性无关.在一个正交向量组中，如果每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组.定理4.3设n维向量组1，2，…，m线性无关，令：，，，…，则，，
9、…，是正交向量组，且与1，2，…，m等价.如果令（i=1,2，…,m）,则1，2，…，m是与1，2，…，m等价的标准正交向量组上述定理4.3从线性无关组1，2，…，m导出正交向量组，，…，的过程称为施密特正交化过程，此方法称为施密特正交化方法.它不仅满足，，…，与1，2，…，m等价，还满足：对任何k（1），向量组，，…，与1，2，…，k等价.通常将，，…，转化为到的过程称为向量的单位化.4.2.2正交矩阵与正交变换定义4.6如果n阶方阵A满足ATA=I,则称A为正交矩阵.由定义4.6可得：正交矩阵A可逆，且A-1=AT.定理
10、4.4方阵A是正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量是标准正交向量组.定义4.7设，，则等价于上述称为线性变换；若为可逆矩阵，则为可逆线性变换；若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。定理4.5正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。4.3实对称矩阵定义4.8若n阶方阵A
