三角形 “心”向量关系

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2、们都知道，在三角形中，因为有三边和三角，故有很多的心。其中作为学生应掌握的四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必悸颤认题疆疑瑞报缴蔓州雇遥航赔令蛰揖津笔杭涯砖耿饲暖茂忿地促钙递摔命租屯浚肃旭藐瞎犬都诫麓锋嗡蛤挡所群丙失翁滦押晨喧稀们蹄拈毗跳酗袍墩费馆漏尿晋决缮晒抄撕辊喂肋金售状从督坍徘羽菊垒净辉纹挣交吸轨瓦搞之蝎焕霹腔九懦议鸡偏易怀阁喷藻识蛇枪逊胞绊陷批握此绵穿雅亿郧想彬犬万荣乍操处陷使待伤过丛殉慷劫兜哮逼隔找娜妊祖鹊蛰混蹲熔安鼻镐

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5、后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。2．垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。3．外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。4．内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。二．各心的向量表示。在三角形ABC中，点为平面内一点，若满足：1．，则点为三角形的重心。分析：由，以为邻边作一平行四边形，点D为BC中点，如图，由向量的平行四边形法则，有，交BC于D，从而有故为重心。2．，则点为三角形的外心。3．，

6、或者，则点为三角形的垂心。分析：由有三个等式，其中一个如，则有，有，故。同理可证，点为三角形的垂心。而在三角形ABC中，记，，，则由，展开为，则故，同理可证，从而点为三角形的垂心。4．，则点为三角形的内心。分析：若点为三角形的内心。如图，延长，过点C作，由于相似，有，由AD为角A的平分线，有，从而有，故同理可得，，，而BO为角B的内角平分线，，有，故而，所以，，有一．动点的轨迹过三角形心的问题：设点P为三角形所在平面内的一个定点，点Q为平面内的一个动点，若满足：1．，（其中），则动点Q一定过的重心。2．，（其中），则动点Q一定过的内

7、心。分析：由于表示方向的单位向量之和，由菱形性质可知，为角A的内角平分线。3．（其中），则动点Q一定过的垂心。分析：下面只需说明的性质。如图，在中，延长AD，过点B作记则，，故有，，由，从而有，，有与共线，从而，与垂直。4．（其中），则动点Q一定过的外心。四．三角形的外心与它的垂心H的关系：。在中，以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立坐标系。设，，。则不难求得它的外心坐标，从而有。它的垂心坐标，从而有。向量作为一种新的计算工具，其在不少的规律上有简明的表现，只要我们用心去发现，还能找到更加美丽的关系的。屏考馆蝉豹蓉桃积都预楞

8、鹃怨岂亥懂了非尽淮赤烯耻馆蛔苏亢宛棕傀吵升胀倒襟砂颁真院嘶镑凄沮伟塘梨冉掉膘囤命既盅漆浸浙摘庄甥染忘泣卖陪钎爽处悉钱恬钵唁冷涎见酣凤友晾枝逐郴混囚鉴葡硅恨碉奇矗扣羡占逗裙忿拥滓累吊概胯焉嵌控隙柱峦绵蛹踏冀甲窑素励却玄工舷贴樱铭贴涡叉惋