向量与三角形四心的关系资料

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1、三角形中的“四心”的向量表示安徽省合肥168中学卢业照18956081732向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。一、

2、线共点问题。解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。=例1、用向量法求证：△ABC的三条高共点.分析：得BC与AC边上的高AD与BE交于H，连接CH，只要证明CH⊥AB即可。因此，关键是选好基向量.设，，，则由⊥，⊥得∴⊥，同理，得证。类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。(2)三角形的三条中线交与一点。二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O是△ABC所在平面内一点，若，则点O是△ABC的重心。分析：利用及加法的平行四边形法则可证。拓展：若，λ∈(0，+∞)，则点P的的轨迹一定是△ABC的_______心。(重心)例3、

3、已知O是△ABC所在平面内一点，若·=·=·，则点O是△ABC的垂心。分析：·=·得·==0，∴OB⊥AC5同理⊥，⊥可证。拓展1：已知O是△ABC平面上一定点，若=+λ，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的_______心。分析：=λ，由于·=0，∴⊥，∴动点P一定过△ABC的垂心。拓展2：点O是△ABC所在平面内一点，满足，则点O是△ABC的______心。分析：得·2=0，即·=0，∴⊥同理可证：⊥，⊥，故O为垂心。【例4】已知O是△ABC所在平面上一点，若a、b、c是角A、B、C的所对边的边长，且，则O是△ABC的______心。分析：联系重心向

4、量式的证明方式，取、为基向量，则=－，=－，故=+，=+，将其代入中得到（a+b+c）+b+c=，即=又，故由和分别是与，同向的单位向量和，则（+）∥，故AO平分∠BAC，同量，BO平分∠ABC，CO平分∠5ACB，故O是△ABC的内心。点评：从向量角度给出△ABC中，∠BAC的角平分线的表达式，即：OA平分∠BAC=拓展：点O是△ABC平面上一定点，动点P满足=+λ，λ∈[0，+∞]，则P的轨迹一定通过△ABC的______心。分析：由=λ知∥，其中AO平分∠BAC，故P点的轨迹一定通过△ABC的内心。【例5】已知点O是△ABC所在平面上一点，若，则点O是△ABC的

5、_____心。分析：由已知知是外心.三、三角形“四心”的统一表达式定理：如图，点M是△ABC所在平面内任一点，总有.特别地，①当点M是重心G时，有②当点M是垂心H时,有③当点M是外心O时，有④当点M是内心I时,有.5下面证明这个定理：设则有平面向量的平行四边形法则知，作∽,同理，.同理，.易证：①当点M是重心G时，.②当点M是垂心H时,③当点M是外心O时，④当点M是内心I时，故定理得证.四、三角形“四心”的综合问题例6、已知点O是△ABC所在平面内一定点，且++=，当点P在何位置时，的值最小。分析：==－·=,故当点P是△ABC的重心O时，所求值最小。5例7.已知O为

6、△ABC的外心，H为垂心，求证：分析：如图，作直径BD，连DA、DC，有拓展：1.求证：△ABC的外心O，垂心H,重心G三点共线，且OG:GH=1:2.分析：有上题知拓展2..已知△ABC不是直角三角形，点O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心.△ABC满足什么条件，有AH=OA.分析：由于AH=OA,则AH=OA=R，当A是锐角时，<>=2A,当A为钝角时，上面每一步可以逆推，以上从三角形“四心”方面体现了向量与几何的密切联系，即向量概念引入后，全等、平行（平移）、相似和垂直等几何关系就可转化为向量的加（减）法，数乘向量，数量积的运算，从而把图形的基本性质转化为向量

7、的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。理解平面向量及其运算的定义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，从而发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。5