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1、第15讲 三角函数的图像和性质项目一知识概要1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图像定义域RR{x
2、x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性[－＋2kπ，＋
3、2kπ](k∈Z)上递增；[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(＋kπ，0)(k∈Z)(，0)(k∈Z)对称轴方程x＝＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ项
4、目二例题精讲任务一 求三角函数的定义域和最值问题【例1】 (1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A．2－B．0C．－1D．－1－(2)函数y＝的定义域为______________________．分析 求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识．答案 (1)A (2){x
5、x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值．∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴sin∈.∴y∈，∴ymax＋ymin
6、＝2－.(2)要使函数有意义，必须有，即故函数的定义域为{x
7、x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}．评注 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±c
8、osx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．任务二 三角函数的单调性和周期性问题【例2】 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin；(2)y＝
9、tanx
10、.分析 (1)化为y＝－sin，再求单调区间及周期．(2)由y＝tanx的图像→y＝
11、tanx
12、的图像→求单调性及周期．解析 (1)y＝－sin，它的增区间是y＝sin的减区间，它的减区间是y＝sin的增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.由2kπ＋≤2x－≤2
13、kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的减区间为，k∈Z；增区间为，k∈Z.最小正周期T＝＝π.(2)观察图像可知，y＝
14、tanx
15、的增区间是，k∈Z，减区间是，k∈Z.最小正周期T＝π.评注 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异
16、减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．任务三 三角函数的奇偶性和对称性问题【例3】 (1)已知f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图像关于直线x＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称，那么
17、φ
18、的最小值为( )A.B.C.D.答案 (1) (2)A解析 (1)f(x)＝2sin，y＝f(x＋φ)＝2sin图像关于x＝0对称，即f(x＋φ)为偶函数．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ
19、＝kπ＋，k∈Z，又∵
20、φ
21、≤，∴φ＝.(2)由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得
22、φ
23、的最小值为.评注 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
