割线法与抛物线法

《割线法与抛物线法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、6.3.2割线法与抛物线法6.3.1Newton迭代法6.3一元方程的常用迭代法设x*是方程f(x)=0的实根，是　一个近似根，用Taylor展开式有这里假设　　　存在并连续。若　　　　　，可得（6.3.1）其中　。若（6.3.1）的右端最后一项忽略不记，作为x*新的一个近似值，就有，k=0,1,…，（6.3.2）这就是Newton迭代法。6.3.1Newton迭代法对（6.3.2）可作如下的几何解释：为函数f(x)在点处的切线与横坐标轴的交点,见图6-3.因此Newton迭代法也称为切线法.Y0y=f(x)X将(6.3

2、.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有所以有Newton迭代法是超线性收敛的。更准确地,从(6.3.1)和(6.3.2)可得下面的定理.定理6.5,且f(x)在包含x*的一个区间上有二阶连续导数,则Newton迭代法（6.3.2）至少二阶收敛，并且以上讨论的是Newton法的局部收敛性。对于某些非线性方程，Newton法具有全局收敛性。例6.8设a>0,对方程-a=0试证:取任何初值>0，Newton迭代法都收敛到算术根。由此可知证对f(x)=-a,Newton迭代法为设x*是f(x)=0的m重根,，即在定理

3、6.5中,要求f(x*)=0,即是方程的单根时,Newton法至少具有二阶局部收敛性。下面讨论重根的情形.可见,对于任何>0,都有,并且{}非增.因此{}是有下界的非增序列,从而有极限x*.对（6.3.3）的两边取极限,得到-a=0,因为>0,故有x*=。由Newton迭代函数的导数表达式,容易求出从而，。因此只要，这时的Newton迭代法线性收敛。为了改善重根时Newton法的收敛性，有如下两种方法。若改为取容易验证。迭代至少二阶收敛.若令,由x*是f(x)的m重零点，有例6.9方程的根是二重根.用三种方法求解.解(1

4、)用Newton法有这种方法也是至少二阶收敛的.所以，x*是的单零点.可将Newton法的迭代函数修改为(2)由(6.3.4),m=2迭代公式为(3)由(6.3.5)确定的修改方法，迭代公式化简为三种方法均取=1.5,计算结果列于表6-7.方法（2）和方法(3)都是二阶方法，都达到了误差限为的精确度,而普通的Newton法是一阶的,要近30次迭代才有相同精度的结果.XkX0X1X2X3方法(1)1.51.4583333331.4366071431.425497619方法(2)1.51.4166666671.4142156

5、861.414213562方法(3)1.51.4117647061.4142114381.414213562表6-7Newton法的每步计算都要求提供函数的导数值，当函数f(x)比较复杂时，提供它的导数值往往是有困难的。此时，在Newton迭代法（6.3.2）中，可用或常数D取代迭代式变为或这称为简化Newton法。其迭代函数为简化Newton法一般为线性收敛。6.3.2割线法与抛物线法这就是割线法的计算公式。其几何解释为通过和　　　　　　　作　　　　的割线，割线与x轴交点的横坐标是。为了回避导数值的计算，除了前面的简化

6、Newton法之外，我们也可用点上的差商代替，得到迭代公式与Newton法不同的是，用割线法计算时，需要有两个初始值　。计算时，要保留上步的和　，再计算一次函数值。所以割线法是一种两步迭代法，不能直接用单步迭代法收敛性分析的结果。下面给出割线法收敛性的定理。定理6.6设,在区间上的二阶导数连续,且。又设，其中则当时，由（6.3.6）式产生的序列，并且按阶收敛到根。证由（6.3.6）两边减去，利用均差的记号有因f(x)有二阶导数，所以有其中在之间，在包含的最小区间上。仍记，由（6.3.8）有若则利用（6.3.7）和得：这说

7、明时，序列。又由于：所以，当时，，即收敛到。从上式也可知割线法至少是一阶收敛的。进一步确定收敛的阶，这里我们给出一个不严格的证明。由（6.3.9）有这里。令，代入（6.3.10）得我们知道，差分方程的通解为，这里，为任意常数，和是方程的两个跟。当k充分大时，设，c为常数，则有这说明割线法的收敛阶为。定理证毕。类似于简单Newton法，有如下的单点割线法其迭代函数为于是其中在和之间。由此可见，单点割线法一般为线形收敛。但当变化不大时，，收敛仍可能很快。例10分别用单点割线法，割线法和Newton法求解Leonardo方程解

8、由于故，在（1，2）内仅有一个根。对于单点割线法和割线法，取计算结果如表6-8。对于Newton法，由于在（0.2）内，故取，计算结果如表6-8单点割线法割线法Newton法1.3684210531.3684210531.3833887041.3688512631.3688504691.3688694191.3688